HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem 0idsr 5178
Description: The signed real number 0 is an identity element for addition of signed reals.
Assertion
Ref Expression
0idsr |- (A e. R. -> (A +R 0R) = A)
Proof of Theorem 0idsr
StepHypRef Expression
1 df-nr 5139 . 2 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2 opreq1 3953 . . 3 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> ([<.x, y>.] ~R +R 0R) = (A +R 0R))
3 id 59 . . 3 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> [<.x, y>.] ~R = A)
42, 3eqeq12d 1481 . 2 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> (([<.x, y>.] ~R +R 0R) = [<.x, y>.] ~R <-> (A +R 0R) = A))
5 1pr 5089 . . . . . 6 |- 1P e. P.
65, 5pm3.2i 285 . . . . 5 |- (1P e. P. /\ 1P e. P.)
7 addsrpr 5156 . . . . 5 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (1P e. P. /\ 1P e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.1P, 1P>.] ~R ) = [<.(x +P. 1P), (y +P. 1P)>.] ~R )
86, 7mpan2 694 . . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.1P, 1P>.] ~R ) = [<.(x +P. 1P), (y +P. 1P)>.] ~R )
9 addclpr 5092 . . . . . . 7 |- ((x e. P. /\ 1P e. P.) -> (x +P. 1P) e. P.)
105, 9mpan2 694 . . . . . 6 |- (x e. P. -> (x +P. 1P) e. P.)
11 addclpr 5092 . . . . . . 7 |- ((y e. P. /\ 1P e. P.) -> (y +P. 1P) e. P.)
125, 11mpan2 694 . . . . . 6 |- (y e. P. -> (y +P. 1P) e. P.)
1310, 12anim12i 333 . . . . 5 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ((x +P. 1P) e. P. /\ (y +P. 1P) e. P.))
14 visset 1804 . . . . . . 7 |- x e. V
15 visset 1804 . . . . . . 7 |- y e. V
165elisseti 1809 . . . . . . 7 |- 1P e. V
17 visset 1804 . . . . . . . 8 |- z e. V
18 visset 1804 . . . . . . . 8 |- w e. V
1917, 18addcompr 5095 . . . . . . 7 |- (z +P. w) = (w +P. z)
20 visset 1804 . . . . . . . 8 |- v e. V
2118, 20addasspr 5096 . . . . . . 7 |- ((z +P. w) +P. v) = (z +P. (w +P. v))
2214, 15, 16, 19, 21caopr12 4047 . . . . . 6 |- (x +P. (y +P. 1P)) = (y +P. (x +P. 1P))
23 enreceq 5149 . . . . . 6 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ ((x +P. 1P) e. P. /\ (y +P. 1P) e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R = [<.(x +P. 1P), (y +P. 1P)>.] ~R <-> (x +P. (y +P. 1P)) = (y +P. (x +P. 1P))))
2422, 23mpbiri 194 . . . . 5 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ ((x +P. 1P) e. P. /\ (y +P. 1P) e. P.)) -> [<.x, y>.] ~R = [<.(x +P. 1P), (y +P. 1P)>.] ~R )
2513, 24mpdan 702 . . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> [<.x, y>.] ~R = [<.(x +P. 1P), (y +P. 1P)>.] ~R )
268, 25eqtr4d 1502 . . 3 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.1P, 1P>.] ~R ) = [<.x, y>.] ~R )
27 df-0r 5143 . . . 4 |- 0R = [<.1P, 1P>.] ~R
2827opreq2i 3957 . . 3 |- ([<.x, y>.] ~R +R 0R) = ([<.x, y>.] ~R +R [<.1P, 1P>.] ~R )
2926, 28syl5eq 1511 . 2 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ([<.x, y>.] ~R +R 0R) = [<.x, y>.] ~R )
301, 4, 29ecoptocl 4287 1 |- (A e. R. -> (A +R 0R) = A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  <.cop 2401  (class class class)co 3948  [cec 4243  P.cnp 4957  1Pc1p 4958   +P. cpp 4959   ~R cer 4964  R.cnr 4965  0Rc0r 4966   +R cplr 4969
This theorem is referenced by:  addgt0sr 5185  sqgt0sr 5187  ssgt0sr 5189  supsrlem2 5198  supsrlem5 5201  addresr 5228  mulresr 5229  ax0id 5253  ax1id 5254  axi2m1 5257  axcnre 5258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-0r 5143
Copyright terms: Public domain