HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem 0met 7777
Description: The empty metric.
Assertion
Ref Expression
0met |- (/) e. Met
Proof of Theorem 0met
StepHypRef Expression
1 0ex 2706 . . 3 |- (/) e. V
2 dm0 3318 . . . . . 6 |- dom (/) = (/)
32dmeqi 3307 . . . . 5 |- dom dom (/) = dom (/)
43, 2eqtr2 1493 . . . 4 |- (/) = dom dom (/)
54ismet 7748 . . 3 |- ((/) e. V -> ((/) e. Met <-> ((/):((/) X. (/))-->RR /\ A.x e. (/) A.y e. (/) (((x(/)y) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. (/) (x(/)y) <_ ((z(/)x) + (z(/)y))))))
61, 5ax-mp 7 . 2 |- ((/) e. Met <-> ((/):((/) X. (/))-->RR /\ A.x e. (/) A.y e. (/) (((x(/)y) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. (/) (x(/)y) <_ ((z(/)x) + (z(/)y)))))
7 f0 3647 . . 3 |- (/):(/)-->RR
8 xp0r 3234 . . . 4 |- ((/) X. (/)) = (/)
9 feq2 3613 . . . 4 |- (((/) X. (/)) = (/) -> ((/):((/) X. (/))-->RR <-> (/):(/)-->RR))
108, 9ax-mp 7 . . 3 |- ((/):((/) X. (/))-->RR <-> (/):(/)-->RR)
117, 10mpbir 190 . 2 |- (/):((/) X. (/))-->RR
12 ral0 2354 . 2 |- A.x e. (/) A.y e. (/) (((x(/)y) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. (/) (x(/)y) <_ ((z(/)x) + (z(/)y)))
136, 11, 12mpbir2an 729 1 |- (/) e. Met
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  Vcvv 1807  (/)c0 2276   class class class wbr 2614   X. cxp 3163  dom cdm 3165  -->wf 3173  (class class class)co 3954  RRcr 5213  0cc0 5214   + caddc 5217   <_ cle 5275  Metcme 7739
This theorem is referenced by:  methaus 7834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-opr 3956  df-met 7743
Copyright terms: Public domain