HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem 0sdomg 4446
Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty.
Assertion
Ref Expression
0sdomg |- (A e. B -> ((/) ~< A <-> A =/= (/)))
Proof of Theorem 0sdomg
StepHypRef Expression
1 ensymg 4392 . . . . 5 |- (A e. B -> ((/) ~~ A -> A ~~ (/)))
2 0ex 2701 . . . . . 6 |- (/) e. V
32ensym 4393 . . . . 5 |- (A ~~ (/) -> (/) ~~ A)
41, 3impbid1 515 . . . 4 |- (A e. B -> ((/) ~~ A <-> A ~~ (/)))
5 en0 4404 . . . 4 |- (A ~~ (/) <-> A = (/))
64, 5syl6bb 534 . . 3 |- (A e. B -> ((/) ~~ A <-> A = (/)))
76negbid 609 . 2 |- (A e. B -> (-. (/) ~~ A <-> -. A = (/)))
8 brsdom 4363 . . 3 |- ((/) ~< A <-> ((/) ~<_ A /\ -. (/) ~~ A))
9 0dom 4444 . . 3 |- (/) ~<_ A
108, 9mpbiran 726 . 2 |- ((/) ~< A <-> -. (/) ~~ A)
11 df-ne 1579 . 2 |- (A =/= (/) <-> -. A = (/))
127, 10, 113bitr4g 553 1 |- (A e. B -> ((/) ~< A <-> A =/= (/)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  (/)c0 2270   class class class wbr 2609   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349   ~< csdm 4350
This theorem is referenced by:  0sdom 4447  fodomr 4463  fodomfib 4541  fodomb 4772  hgrablkcard 10610
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-er 4245  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353
Copyright terms: Public domain