HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem absvalt 6702
Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133.
Assertion
Ref Expression
absvalt |- (A e. CC -> (abs` A) = (sqr` (A x. (*` A))))
Proof of Theorem absvalt
StepHypRef Expression
1 id 59 . . . 4 |- (x = A -> x = A)
2 fveq2 3715 . . . 4 |- (x = A -> (*` x) = (*` A))
31, 2opreq12d 3969 . . 3 |- (x = A -> (x x. (*` x)) = (A x. (*` A)))
43fveq2d 3719 . 2 |- (x = A -> (sqr` (x x. (*` x))) = (sqr` (A x. (*` A))))
5 df-abs 6693 . 2 |- abs = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (sqr` (x x. (*` x))))}
6 fvex 3723 . 2 |- (sqr` (A x. (*` A))) e. V
74, 5, 6fvopab4 3771 1 |- (A e. CC -> (abs` A) = (sqr` (A x. (*` A))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 954   e. wcel 956  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212   x. cmul 5219  sqrcsqr 6607  *ccj 6688  abscabs 6689
This theorem is referenced by:  absnegt 6775  absclt 6776  abscjt 6777  absvalsqt 6778  absge0 6783  absval2 6784  absmul 6790  absid 6804  absret 6809  absi 6823  absf 6851  siii 8457  norm-iii 8945
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193  df-opr 3956  df-abs 6693
Copyright terms: Public domain