HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem ac7 4728
Description: An Axiom of Choice equivalent similar to the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49.
Assertion
Ref Expression
ac7 |- E.f(f (_ x /\ f Fn dom x)
Distinct variable group:   x,f
Proof of Theorem ac7
StepHypRef Expression
1 aceq2 4711 . . . . 5 |- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
21albii 997 . . . 4 |- (A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
3 aceq6a 4721 . . . 4 |- (A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))
42, 3sylbi 199 . . 3 |- (A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))
5419.21bi 1058 . 2 |- (A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) -> E.f(f (_ x /\ f Fn dom x))
6 ac2 4726 . 2 |- E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)
75, 6mpg 984 1 |- E.f(f (_ x /\ f Fn dom x)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 952   e. wcel 956  E.wex 978   =/= wne 1582  A.wral 1642  E.wrex 1643  E!wreu 1644   (_ wss 2043  (/)c0 2276  dom cdm 3165   Fn wfn 3172
This theorem is referenced by:  ac7g 4729  ac4 4730  ac8 4743  ackm 4762
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-ac 4724
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193
Copyright terms: Public domain