HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem addinv 8065
Description: Value of the group inverse of complex number addition. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
addinv |- (A e. CC -> ((inv` + )` A) = -uA)
Proof of Theorem addinv
StepHypRef Expression
1 axaddcom 5247 . . . . . 6 |- ((A e. CC /\ y e. CC) -> (A + y) = (y + A))
21eqeq1d 1475 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ y e. CC) -> ((A + y) = 0 <-> (y + A) = 0))
32rabbidv 1797 . . . 4 |- (A e. CC -> {y e. CC | (A + y) = 0} = {y e. CC | (y + A) = 0})
43unieqd 2502 . . 3 |- (A e. CC -> U.{y e. CC | (A + y) = 0} = U.{y e. CC | (y + A) = 0})
5 0cn 5300 . . . 4 |- 0 e. CC
6 subvalt 5329 . . . 4 |- ((0 e. CC /\ A e. CC) -> (0 - A) = U.{y e. CC | (A + y) = 0})
75, 6mpan 693 . . 3 |- (A e. CC -> (0 - A) = U.{y e. CC | (A + y) = 0})
8 cnaddabl 8063 . . . . 5 |- + e. Abel
9 ablgrp 8038 . . . . 5 |- ( + e. Abel -> + e. Grp)
108, 9ax-mp 7 . . . 4 |- + e. Grp
11 axaddopr 5237 . . . . . 6 |- + :(CC X. CC)-->CC
1210, 11grprnOLD 7991 . . . . 5 |- CC = ran +
13 cnid 8064 . . . . 5 |- 0 = (Id` + )
14 eqid 1468 . . . . 5 |- (inv` + ) = (inv` + )
1512, 13, 14grpinvval 8001 . . . 4 |- (( + e. Grp /\ A e. CC) -> ((inv` + )` A) = U.{y e. CC | (y + A) = 0})
1610, 15mpan 693 . . 3 |- (A e. CC -> ((inv` + )` A) = U.{y e. CC | (y + A) = 0})
174, 7, 163eqtr4rd 1510 . 2 |- (A e. CC -> ((inv` + )` A) = (0 - A))
18 df-neg 5330 . 2 |- -uA = (0 - A)
1917, 18syl6eqr 1517 1 |- (A e. CC -> ((inv` + )` A) = -uA)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  {crab 1640  U.cuni 2493  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206   + caddc 5209   - cmin 5264  -ucneg 5265  Grpcgr 7967  invcgn 7969  Abelcabl 8035
This theorem is referenced by:  readdsubg 8066  zaddsubg 8067
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fo 3186  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-abl 8036
Copyright terms: Public domain