HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem ax0id 5204
Description: 0 is an identity element for addition. Axiom 15 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.
Assertion
Ref Expression
ax0id |- (A e. CC -> (A + 0) = A)
Proof of Theorem ax0id
StepHypRef Expression
1 df-c 5163 . 2 |- CC = (R. X. R.)
2 opreq1 3907 . . 3 |- (<.x, y>. = A -> (<.x, y>. + 0) = (A + 0))
3 id 59 . . 3 |- (<.x, y>. = A -> <.x, y>. = A)
42, 3eqeq12d 1465 . 2 |- (<.x, y>. = A -> ((<.x, y>. + 0) = <.x, y>. <-> (A + 0) = A))
5 0r 5112 . . . . . 6 |- 0R e. R.
65, 5pm3.2i 285 . . . . 5 |- (0R e. R. /\ 0R e. R.)
7 addcnsr 5176 . . . . 5 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (0R e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.x, y>. + <.0R, 0R>.) = <.(x +R 0R), (y +R 0R)>.)
86, 7mpan2 693 . . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. + <.0R, 0R>.) = <.(x +R 0R), (y +R 0R)>.)
9 opeq12 2458 . . . . 5 |- (((x +R 0R) = x /\ (y +R 0R) = y) -> <.(x +R 0R), (y +R 0R)>. = <.x, y>.)
10 0idsr 5129 . . . . 5 |- (x e. R. -> (x +R 0R) = x)
11 0idsr 5129 . . . . 5 |- (y e. R. -> (y +R 0R) = y)
129, 10, 11syl2an 454 . . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> <.(x +R 0R), (y +R 0R)>. = <.x, y>.)
138, 12eqtrd 1483 . . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. + <.0R, 0R>.) = <.x, y>.)
14 df-0 5164 . . . 4 |- 0 = <.0R, 0R>.
1514opreq2i 3911 . . 3 |- (<.x, y>. + 0) = (<.x, y>. + <.0R, 0R>.)
1613, 15syl5eq 1495 . 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. + 0) = <.x, y>.)
171, 4, 16optocl 3197 1 |- (A e. CC -> (A + 0) = A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 1099   e. wcel 1105  <.cop 2382  (class class class)co 3902  R.cnr 4916  0Rc0r 4917   +R cplr 4920  CCcc 5155  0cc0 5157   + caddc 5160
This theorem is referenced by:  addid1t 5233  addid2t 5252  addid1 5253  pncant 5320  ltaddpost 5575  addge01t 5596  nnge1t 5842  nnleltp1t 5852  nn0addclt 6018  nnnn0addclt 6023  ser1mono 6225  shftval3t 6236  uzaddclt 6332  expaddt 6478  reim0bt 6663  recjt 6704  faclbnd4lem4 6839  faclbnd6 6842  csbfsum 6916  iserzex 7033  metsym 7703  ipid 8232  sinper 8522  sinhalfpip 8529  efifolem6 8555  iintlem1 8826  normpyct 9162  pjthlem8 9355  pjspansnt 9631  lnfnmul 10102  hstoht 10283
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-0r 5094  df-c 5163  df-0 5164  df-plus 5168
Copyright terms: Public domain