HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem axinf2 4596
Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 4594 and Regularity ax-reg 4565.

This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 4597 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified.

Assertion
Ref Expression
axinf2 |- E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
Distinct variable group:   x,y,z,w
Proof of Theorem axinf2
StepHypRef Expression
1 peano1 3139 . . 3 |- (/) e. om
2 peano2 3140 . . . 4 |- (y e. om -> suc y e. om)
32ax-gen 960 . . 3 |- A.y(y e. om -> suc y e. om)
4 axinf 4595 . . . . . 6 |- E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))
54inf2 4580 . . . . 5 |- E.x(x =/= (/) /\ x (_ U.x)
65inf3 4592 . . . 4 |- om e. V
7 eleq2 1527 . . . . 5 |- (x = om -> ((/) e. x <-> (/) e. om))
8 eleq2 1527 . . . . . . 7 |- (x = om -> (y e. x <-> y e. om))
9 eleq2 1527 . . . . . . 7 |- (x = om -> (suc y e. x <-> suc y e. om))
108, 9imbi12d 624 . . . . . 6 |- (x = om -> ((y e. x -> suc y e. x) <-> (y e. om -> suc y e. om)))
1110albidv 1273 . . . . 5 |- (x = om -> (A.y(y e. x -> suc y e. x) <-> A.y(y e. om -> suc y e. om)))
127, 11anbi12d 626 . . . 4 |- (x = om -> (((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> ((/) e. om /\ A.y(y e. om -> suc y e. om))))
136, 12cla4ev 1860 . . 3 |- (((/) e. om /\ A.y(y e. om -> suc y e. om)) -> E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)))
141, 3, 13mp2an 695 . 2 |- E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x))
15 0el 2286 . . . . 5 |- ((/) e. x <-> E.y e. x A.z -. z e. y)
16 df-rex 1642 . . . . 5 |- (E.y e. x A.z -. z e. y <-> E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y))
1715, 16bitr 173 . . . 4 |- ((/) e. x <-> E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y))
18 sucel 3032 . . . . . . 7 |- (suc y e. x <-> E.z e. x A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))
19 df-rex 1642 . . . . . . 7 |- (E.z e. x A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)) <-> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
2018, 19bitr 173 . . . . . 6 |- (suc y e. x <-> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
2120imbi2i 185 . . . . 5 |- ((y e. x -> suc y e. x) <-> (y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
2221albii 996 . . . 4 |- (A.y(y e. x -> suc y e. x) <-> A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
2317, 22anbi12i 481 . . 3 |- (((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> (E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))))
2423exbii 1047 . 2 |- (E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))))
2514, 24mpbi 189 1 |- E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  E.wrex 1638  (/)c0 2270  suc csuc 2940  omcom 3121
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fv 3188  df-rdg 3917
Copyright terms: Public domain