HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem axlttrn 5427
Description: Ordering on reals is transitive. Axiom 23 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates pre-axlttrn 5211 with ordering on the extended reals.)
Assertion
Ref Expression
axlttrn |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) -> A < C))
Proof of Theorem axlttrn
StepHypRef Expression
1 pre-axlttrn 5211 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A <R B /\ B <R C) -> A <R C))
2 ltxrltt 5423 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B <-> A <R B))
323adant3 796 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < B <-> A <R B))
4 ltxrltt 5423 . . . 4 |- ((B e. RR /\ C e. RR) -> (B < C <-> B <R C))
543adant1 794 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (B < C <-> B <R C))
63, 5anbi12d 626 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) <-> (A <R B /\ B <R C)))
7 ltxrltt 5423 . . 3 |- ((A e. RR /\ C e. RR) -> (A < C <-> A <R C))
873adant2 795 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < C <-> A <R C))
91, 6, 83imtr4d 541 1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) -> A < C))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 772   e. wcel 1105   class class class wbr 2587  RRcr 5156   <R cltrr 5161   < clt 5409
This theorem is referenced by:  lttrt 5431  ltso 5435  lelttrt 5447  ltletrt 5448  lttrd 5453  xrlttrt 5477  lttr 5510  mulgt1t 5752  recgt1it 5799  recrecltt 5801  nnge1t 5842  sup2 5949  lt0nnn0 6014  nn0ltp1let 6025  zltp1let 6079  recnzt 6089  gtndivt 6091  expordit 6482  expnbndt 6536  sqrlem6 6559  fsumsplit 6909  climmullem5 7011  caucvglem2 7045  caucvglem4 7047  georeclim 7126  geoisumr 7129  cvgratlem1ALT 7133  cvgratlem1 7136  ivthlem7 7173  ivthlem7OLD 7182  sin01gt0 7369  cos01gt0 7370  bcthlem1 7881  bcthlem21 7901  bcthlem25 7905  projlem26 9341  projlem28 9343
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-ltp 5013  df-enr 5089  df-nr 5090  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-c 5163  df-r 5167  df-lt 5170  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413
Copyright terms: Public domain