HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem axmulrcl 5197
Description: Closure law for multiplication in the real subfield of complex numbers. Axiom 8 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.
Assertion
Ref Expression
axmulrcl |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. B) e. RR)
Proof of Theorem axmulrcl
StepHypRef Expression
1 elreal 5173 . 2 |- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
2 elreal 5173 . 2 |- (B e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = B))
3 opreq1 3907 . . 3 |- (<.x, 0R>. = A -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) = (A x. <.y, 0R>.))
43eleq1d 1516 . 2 |- (<.x, 0R>. = A -> ((<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) e. RR <-> (A x. <.y, 0R>.) e. RR))
5 opreq2 3908 . . 3 |- (<.y, 0R>. = B -> (A x. <.y, 0R>.) = (A x. B))
65eleq1d 1516 . 2 |- (<.y, 0R>. = B -> ((A x. <.y, 0R>.) e. RR <-> (A x. B) e. RR))
7 visset 1788 . . . 4 |- y e. V
87mulresr 5180 . . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) = <.(x .R y), 0R>.)
9 mulclsr 5116 . . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (x .R y) e. R.)
10 opelreal 5172 . . . 4 |- (<.(x .R y), 0R>. e. RR <-> (x .R y) e. R.)
119, 10sylibr 200 . . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> <.(x .R y), 0R>. e. RR)
128, 11eqeltrd 1524 . 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) e. RR)
131, 2, 4, 6, 122gencl 1804 1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. B) e. RR)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 1099   e. wcel 1105  <.cop 2382  (class class class)co 3902  R.cnr 4916  0Rc0r 4917   .R cmr 4921  RRcr 5156   x. cmul 5162
This theorem is referenced by:  remulclt 5227  remulcl 5258  1re 5358  axmulgt0 5429  recextlem2 5607  recext 5608  lemul1t 5739  ltmul12it 5748  lemul12ait 5749  lemul12itOLD 5750  mulgt1t 5752  ltdivmult 5770  ledivmult 5771  lt2mul2divt 5773  lemuldivt 5775  ltdiv23t 5791  lediv23t 5792  avglet 5942  zmulclt 6078  qbtwnre 6167  rpmulclt 6179  reexpclt 6463  expubndt 6490  bernneq 6534  expnbndt 6536  discrlem3 6539  sqr0 6553  sqrlem5 6558  sqrlem6 6559  sqrlem12 6565  faclbnd 6833  faclbnd3 6835  faclbnd5 6841  faclbnd6 6842  facavgt 6843  climmullem4 7010  cvgcmp2clem 7069  cvgratlem1ALT 7133  cvgratlem1 7136  cvgratlem4 7139  erelem1 7212  abspef01tlub 7287  efcnlem2 7311  sin01bndlem2 7361  cos01bndlem2 7363  cos01gt0 7370  sin02gt0 7371  znnen 7396  ruclem13 7416  bl2in 7731  nmoub3i 8303  blocni 8331  ubthlem12 8406  ubthlem13 8407  ubthlem14 8408  minveclem21 8431  minveclem25 8435  minveclem26 8436  minveclem27 8437  htthlem6 8489  htthlem8 8491  sinperlem1 8518  sinq12gt0t 8538  relogexpt 8609  logexptOLD 8625  mslb1 8823  bcs2t 9198  occllem6 9308  pjthlem8 9355  pjthlem10 9357  nmopub2tALT 9964  nmfnleub2t 9980  nmophm 10090  bdophm 10091  lnopcon 10092  lnfncon 10119  cnlnadjlem2 10130  cnlnadjlem7 10135  nmopadjlem 10151  nmopcoadj 10162  branmfnt 10165  leopnmidt 10196  cdj1 10479  cdj3lem2b 10483  cdj3 10487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-0r 5094  df-m1r 5096  df-c 5163  df-r 5167  df-mul 5169
Copyright terms: Public domain