HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem bcthlem1 7933
Description: Lemma for bcth 7966. Property of exponentially decreasing terms.
Assertion
Ref Expression
bcthlem1 |- (((m e. NN /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> (Y < (1 / (2^m)) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
Proof of Theorem bcthlem1
StepHypRef Expression
1 2re 5926 . . . . . . . 8 |- 2 e. RR
2 2pos 5936 . . . . . . . . 9 |- 0 < 2
3 ltdiv1t 5805 . . . . . . . . 9 |- (((Y e. RR /\ (1 / (2^m)) e. RR /\ 2 e. RR) /\ 0 < 2) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
42, 3mpan2 694 . . . . . . . 8 |- ((Y e. RR /\ (1 / (2^m)) e. RR /\ 2 e. RR) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
51, 4mp3an3 902 . . . . . . 7 |- ((Y e. RR /\ (1 / (2^m)) e. RR) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
6 rerecclt 5759 . . . . . . . 8 |- (((2^m) e. RR /\ (2^m) =/= 0) -> (1 / (2^m)) e. RR)
7 reexpclt 6512 . . . . . . . . 9 |- ((2 e. RR /\ m e. NN0) -> (2^m) e. RR)
81, 7mpan 693 . . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> (2^m) e. RR)
9 2cn 5927 . . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
10 2ne0 5937 . . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
11 expne0it 6519 . . . . . . . . 9 |- ((2 e. CC /\ m e. NN0 /\ 2 =/= 0) -> (2^m) =/= 0)
129, 10, 11mp3an13 904 . . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> (2^m) =/= 0)
136, 8, 12sylanc 471 . . . . . . 7 |- (m e. NN0 -> (1 / (2^m)) e. RR)
145, 13sylan2 451 . . . . . 6 |- ((Y e. RR /\ m e. NN0) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
1514ancoms 436 . . . . 5 |- ((m e. NN0 /\ Y e. RR) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
169, 10pm3.2i 285 . . . . . . . . . 10 |- (2 e. CC /\ 2 =/= 0)
17 recdiv2t 5752 . . . . . . . . . 10 |- ((((2^m) e. CC /\ (2^m) =/= 0) /\ (2 e. CC /\ 2 =/= 0)) -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / ((2^m) x. 2)))
1816, 17mpan2 694 . . . . . . . . 9 |- (((2^m) e. CC /\ (2^m) =/= 0) -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / ((2^m) x. 2)))
198recnd 5287 . . . . . . . . 9 |- (m e. NN0 -> (2^m) e. CC)
2018, 19, 12sylanc 471 . . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / ((2^m) x. 2)))
21 expp1t 6506 . . . . . . . . . 10 |- ((2 e. CC /\ m e. NN0) -> (2^(m + 1)) = ((2^m) x. 2))
229, 21mpan 693 . . . . . . . . 9 |- (m e. NN0 -> (2^(m + 1)) = ((2^m) x. 2))
2322opreq2d 3961 . . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> (1 / (2^(m + 1))) = (1 / ((2^m) x. 2)))
2420, 23eqtr4d 1502 . . . . . . 7 |- (m e. NN0 -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / (2^(m + 1))))
2524adantr 389 . . . . . 6 |- ((m e. NN0 /\ Y e. RR) -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / (2^(m + 1))))
2625breq2d 2620 . . . . 5 |- ((m e. NN0 /\ Y e. RR) -> ((Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2) <-> (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))))
2715, 26bitrd 526 . . . 4 |- ((m e. NN0 /\ Y e. RR) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))))
2827adantr 389 . . 3 |- (((m e. NN0 /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))))
29 axlttrn 5476 . . . . . . . . 9 |- ((Z e. RR /\ (Y / 2) e. RR /\ (1 / (2^(m + 1))) e. RR) -> ((Z < (Y / 2) /\ (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
30 rehalfclt 5981 . . . . . . . . 9 |- (Y e. RR -> (Y / 2) e. RR)
3129, 30syl3an2 858 . . . . . . . 8 |- ((Z e. RR /\ Y e. RR /\ (1 / (2^(m + 1))) e. RR) -> ((Z < (Y / 2) /\ (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
32 peano2nn0 6071 . . . . . . . . 9 |- (m e. NN0 -> (m + 1) e. NN0)
33 rerecclt 5759 . . . . . . . . . 10 |- (((2^(m + 1)) e. RR /\ (2^(m + 1)) =/= 0) -> (1 / (2^(m + 1))) e. RR)
34 reexpclt 6512 . . . . . . . . . . 11 |- ((2 e. RR /\ (m + 1) e. NN0) -> (2^(m + 1)) e. RR)
351, 34mpan 693 . . . . . . . . . 10 |- ((m + 1) e. NN0 -> (2^(m + 1)) e. RR)
36 expne0it 6519 . . . . . . . . . . 11 |- ((2 e. CC /\ (m + 1) e. NN0 /\ 2 =/= 0) -> (2^(m + 1)) =/= 0)
379, 10, 36mp3an13 904 . . . . . . . . . 10 |- ((m + 1) e. NN0 -> (2^(m + 1)) =/= 0)
3833, 35, 37sylanc 471 . . . . . . . . 9 |- ((m + 1) e. NN0 -> (1 / (2^(m + 1))) e. RR)
3932, 38syl 10 . . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> (1 / (2^(m + 1))) e. RR)
4031, 39syl3an3 859 . . . . . . 7 |- ((Z e. RR /\ Y e. RR /\ m e. NN0) -> ((Z < (Y / 2) /\ (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
4140exp3a 375 . . . . . 6 |- ((Z e. RR /\ Y e. RR /\ m e. NN0) -> (Z < (Y / 2) -> ((Y / 2) < (1 / (2^(m + 1))) -> Z < (1 / (2^(m + 1))))))
42413exp 830 . . . . 5 |- (Z e. RR -> (Y e. RR -> (m e. NN0 -> (Z < (Y / 2) -> ((Y / 2) < (1 / (2^(m + 1))) -> Z < (1 / (2^(m + 1))))))))
4342com13 33 . . . 4 |- (m e. NN0 -> (Y e. RR -> (Z e. RR -> (Z < (Y / 2) -> ((Y / 2) < (1 / (2^(m + 1))) -> Z < (1 / (2^(m + 1))))))))
4443imp43 370 . . 3 |- (((m e. NN0 /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> ((Y / 2) < (1 / (2^(m + 1))) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
4528, 44sylbid 203 . 2 |- (((m e. NN0 /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> (Y < (1 / (2^m)) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
46 nnnn0t 6053 . 2 |- (m e. NN -> m e. NN0)
4745, 46sylanl1 460 1 |- (((m e. NN /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> (Y < (1 / (2^m)) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   / cdiv 5266  NNcn 5268  NN0cn0 5269   < clt 5458  2c2 5908  ^cexp 6500
This theorem is referenced by:  bcthlem17 7949
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr