HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem cardeq0 4804
Description: Only the empty set has cardinality zero.
Assertion
Ref Expression
cardeq0 |- (A e. B -> ((card` A) = (/) <-> A = (/)))
Proof of Theorem cardeq0
StepHypRef Expression
1 0ex 2701 . . 3 |- (/) e. V
2 carden 4803 . . 3 |- ((A e. B /\ (/) e. V) -> ((card` A) = (card` (/)) <-> A ~~ (/)))
31, 2mpan2 694 . 2 |- (A e. B -> ((card` A) = (card` (/)) <-> A ~~ (/)))
4 card0 4795 . . 3 |- (card` (/)) = (/)
54eqeq2i 1477 . 2 |- ((card` A) = (card` (/)) <-> (card` A) = (/))
6 en0 4404 . 2 |- (A ~~ (/) <-> A = (/))
73, 5, 63bitr3g 552 1 |- (A e. B -> ((card` A) = (/) <-> A = (/)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  ` cfv 3172   ~~ cen 4348  cardccrd 4785
This theorem is referenced by:  cfeq0 4886  cfsuc 4887
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-ac 4716
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-er 4245  df-en 4351  df-card 4788
Copyright terms: Public domain