HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem caucvg3a 7100
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). This version shows the explicit value of the limit (which is why we need all the hypotheses) rather than just its existence.
Hypotheses
Ref Expression
caucvg3a.1 |- F:NN-->CC
caucvg3a.2 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
caucvg3a.3 |- G Fn NN
caucvg3a.4 |- (x e. NN -> (G` x) = (Re` (F` x)))
caucvg3a.4a |- R = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (G` y))}
caucvg3a.5 |- H Fn NN
caucvg3a.6 |- (x e. NN -> (H` x) = (Im` (F` x)))
caucvg3a.6a |- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (H` y))}
caucvg3a.7 |- D Fn NN
caucvg3a.8 |- (x e. NN -> (D` x) = (i x. (H` x)))
Assertion
Ref Expression
caucvg3a |- F ~~> (sup(R, RR, < ) + (i x. sup(S, RR, < )))
Distinct variable groups:   x,v,u,F   x,y,z,w,G,v,u   x,H,y,z,w,v,u   x,D,u,v   x,R,z,w   z,S,w
Proof of Theorem caucvg3a
StepHypRef Expression
1 ffnfv 3813 . . . . 5 |- (G:NN-->RR <-> (G Fn NN /\ A.x e. NN (G` x) e. RR))
2 caucvg3a.3 . . . . 5 |- G Fn NN
3 caucvg3a.4 . . . . . . 7 |- (x e. NN -> (G` x) = (Re` (F` x)))
4 caucvg3a.1 . . . . . . . . 9 |- F:NN-->CC
54ffvelrni 3800 . . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (F` x) e. CC)
6 reclt 6688 . . . . . . . 8 |- ((F` x) e. CC -> (Re` (F` x)) e. RR)
75, 6syl 10 . . . . . . 7 |- (x e. NN -> (Re` (F` x)) e. RR)
83, 7eqeltrd 1540 . . . . . 6 |- (x e. NN -> (G` x) e. RR)
98rgen 1690 . . . . 5 |- A.x e. NN (G` x) e. RR
101, 2, 9mpbir2an 728 . . . 4 |- G:NN-->RR
11 caucvg3a.2 . . . . 5 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
124, 11, 2, 3caure 6864 . . . 4 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((G` y) - (G` w))) < z))
13 caucvg3a.4a . . . 4 |- R = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (G` y))}
1410, 12, 13caucvg 7099 . . 3 |- G ~~> sup(R, RR, < )
15 axicn 5242 . . . 4 |- i e. CC
16 ltso 5484 . . . . 5 |- < Or RR
1716supex 4551 . . . 4 |- sup(S, RR, < ) e. V
18 ffnfv 3813 . . . . . 6 |- (H:NN-->RR <-> (H Fn NN /\ A.x e. NN (H` x) e. RR))
19 caucvg3a.5 . . . . . 6 |- H Fn NN
20 caucvg3a.6 . . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (H` x) = (Im` (F` x)))
21 imclt 6689 . . . . . . . . 9 |- ((F` x) e. CC -> (Im` (F` x)) e. RR)
225, 21syl 10 . . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (Im` (F` x)) e. RR)
2320, 22eqeltrd 1540 . . . . . . 7 |- (x e. NN -> (H` x) e. RR)
2423rgen 1690 . . . . . 6 |- A.x e. NN (H` x) e. RR
2518, 19, 24mpbir2an 728 . . . . 5 |- H:NN-->RR
264, 11, 19, 20cauim 6865 . . . . 5 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((H` y) - (H` w))) < z))
27 caucvg3a.6a . . . . 5 |- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (H` y))}
2825, 26, 27caucvg 7099 . . . 4 |- H ~~> sup(S, RR, < )
29 caucvg3a.7 . . . 4 |- D Fn NN
3023recnd 5287 . . . . 5 |- (x e. NN -> (H` x) e. CC)
31 caucvg3a.8 . . . . 5 |- (x e. NN -> (D` x) = (i x. (H` x)))
3230, 31jca 288 . . . 4 |- (x e. NN -> ((H` x) e. CC /\ (D` x) = (i x. (H` x))))
3315, 17, 28, 29, 32climmulc 7069 . . 3 |- D ~~> (i x. sup(S, RR, < ))
3414, 33pm3.2i 285 . 2 |- (G ~~> sup(R, RR, < ) /\ D ~~> (i x. sup(S, RR, < )))
35 1z 6106 . . 3 |- 1 e. ZZ
36 elnnuz 6372 . . . . 5 |- (x e. NN <-> x e. (ZZ>` 1))
377recnd 5287 . . . . . . 7 |- (x e. NN -> (Re` (F` x)) e. CC)
383, 37eqeltrd 1540 . . . . . 6 |- (x e. NN -> (G` x) e. CC)
39 axmulcl 5245 . . . . . . . . 9 |- ((i e. CC /\ (H` x) e. CC) -> (i x. (H` x)) e. CC)
4015, 39mpan 693 . . . . . . . 8 |- ((H` x) e. CC -> (i x. (H` x)) e. CC)
4130, 40syl 10 . . . . . . 7 |- (x e. NN -> (i x. (H` x)) e. CC)
4231, 41eqeltrd 1540 . . . . . 6 |- (x e. NN -> (D` x) e. CC)
43 replimtOLD 6693 . . . . . . . 8 |- ((F` x) e. CC -> (F` x) = ((Re` (F` x)) + ((Im` (F` x)) x. i)))
445, 43syl 10 . . . . . . 7 |- (x e. NN -> (F` x) = ((Re` (F` x)) + ((Im` (F` x)) x. i)))
45 axmulcom 5248 . . . . . . . . . . 11 |- ((i e. CC /\ (H` x) e. CC) -> (i x. (H` x)) = ((H` x) x. i))
4615, 45mpan 693 . . . . . . . . . 10 |- ((H` x) e. CC -> (i x. (H` x)) = ((H` x) x. i))
4730, 46syl 10 . . . . . . . . 9 |- (x e. NN -> (i x. (H` x)) = ((H` x) x. i))
4820opreq1d 3960 . . . . . . . . 9 |- (x e. NN -> ((H` x) x. i) = ((Im` (F` x)) x. i))
4931, 47, 483eqtrd 1503 . . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (D` x) = ((Im` (F` x)) x. i))
503, 49opreq12d 3963 . . . . . . 7 |- (x e. NN -> ((G` x) + (D` x)) = ((Re` (F` x)) + ((Im` (F` x)) x. i)))
5144, 50eqtr4d 1502 . . . . . 6 |- (x e. NN -> (F` x) = ((G` x) + (D` x)))
5238, 42, 513jca 817 . . . . 5 |- (x e. NN -> ((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x))))
5336, 52sylbir 201 . . . 4 |- (x e. (ZZ>` 1) -> ((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x))))
5453rgen 1690 . . 3 |- A.x e. (ZZ>` 1)((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x)))
5535, 54pm3.2i 285 . 2 |- (1 e. ZZ /\ A.x e. (ZZ>` 1)((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x))))
56 nnex 5881 . . . 4 |- NN e. V
57 fnex 3593 . . . 4 |- ((G Fn NN /\ NN e. V) -> G e. V)
582, 56, 57mp2an 695 . . 3 |- G e. V
59 fnex 3593 . . . 4 |- ((D Fn NN /\ NN e. V) -> D e. V)
6029, 56, 59mp2an 695 . . 3 |- D e. V
61 fex 3637 . . . 4 |- ((F:NN-->CC /\ NN e. V) -> F e. V)
624, 56, 61mp2an 695 . . 3 |- F e. V
6316supex 4551 . . 3 |- sup(R, RR, < ) e. V
64 oprex 3968 . . 3 |- (i x. sup(S, RR, < )) e. V
6558, 60, 62, 63, 64climadd 7053 . 2 |- (((G ~~> sup(R, RR, < ) /\ D ~~> (i x. sup(S, RR, < ))) /\ (1 e. ZZ /\ A.x e. (ZZ>` 1)((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x))))) -> F ~~> (sup(R, RR, < ) + (i x. sup(S, RR, < ))))
6634, 55, 65mp2an 695 1 |- F ~~> (sup(R, RR, < ) + (i x. sup(S, RR, < )))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638  {crab 1640  Vcvv 1802   class class class wbr 2609   Fn wfn 3167  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  supcsup 4547  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264   <_ cle 5267  NNcn 5268  ZZcz 5270   < clt 5458  ZZ>cuz 6349  Recre 6678  Imcim 6679  abscabs 6681   ~~> cli 6912
This theorem is referenced by:  cvgcmp3c 7122
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq