HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem caufval 7864
Description: The set of Cauchy sequences on a metric space.
Hypothesis
Ref Expression
lmfval.1 |- X = dom dom D
Assertion
Ref Expression
caufval |- (D e. Met -> (Cau` D) = {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})
Distinct variable groups:   f,j,k,m,x,D   f,X
Proof of Theorem caufval
StepHypRef Expression
1 dmexg 3344 . . . . 5 |- (D e. Met -> dom D e. V)
2 dmexg 3344 . . . . 5 |- (dom D e. V -> dom dom D e. V)
31, 2syl 10 . . . 4 |- (D e. Met -> dom dom D e. V)
4 lmfval.1 . . . 4 |- X = dom dom D
53, 4syl5eqel 1544 . . 3 |- (D e. Met -> X e. V)
6 axcnex 5239 . . . 4 |- CC e. V
7 xpexg 3249 . . . 4 |- ((CC e. V /\ X e. V) -> (CC X. X) e. V)
86, 7mpan 693 . . 3 |- (X e. V -> (CC X. X) e. V)
9 abssexg 2737 . . 3 |- ((CC X. X) e. V -> {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} e. V)
105, 8, 93syl 20 . 2 |- (D e. Met -> {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} e. V)
11 dmeq 3300 . . . . . . . . 9 |- (z = D -> dom z = dom D)
1211dmeqd 3302 . . . . . . . 8 |- (z = D -> dom dom z = dom dom D)
1312, 4syl6eqr 1517 . . . . . . 7 |- (z = D -> dom dom z = X)
14 xpeq2 3191 . . . . . . 7 |- (dom dom z = X -> (CC X. dom dom z) = (CC X. X))
1513, 14syl 10 . . . . . 6 |- (z = D -> (CC X. dom dom z) = (CC X. X))
1615sseq2d 2079 . . . . 5 |- (z = D -> (f (_ (CC X. dom dom z) <-> f (_ (CC X. X)))
1713eleq2d 1533 . . . . . . . . . . 11 |- (z = D -> ((f` k) e. dom dom z <-> (f` k) e. X))
1813eleq2d 1533 . . . . . . . . . . 11 |- (z = D -> ((f` m) e. dom dom z <-> (f` m) e. X))
1917, 183anbi12d 891 . . . . . . . . . 10 |- (z = D -> (((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x) <-> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))
2019imbi2d 610 . . . . . . . . 9 |- (z = D -> (((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))
2120ralbidv 1655 . . . . . . . 8 |- (z = D -> (A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))
2221rexralbidv 1674 . . . . . . 7 |- (z = D -> (E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))
2322imbi2d 610 . . . . . 6 |- (z = D -> ((0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x))) <-> (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))))
2423ralbidv 1655 . . . . 5 |- (z = D -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))))
2516, 24anbi12d 626 . . . 4 |- (z = D -> ((f (_ (CC X. dom dom z) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))) <-> (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))))
2625abbidv 1569 . . 3 |- (z = D -> {f | (f (_ (CC X. dom dom z) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} = {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})
27 df-cau 7861 . . 3 |- Cau = {<.z, w>. | (z e. Met /\ w = {f | (f (_ (CC X. dom dom z) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})}
2826, 27fvopab4g 3764 . 2 |- ((D e. Met /\ {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} e. V) -> (Cau` D) = {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})
2910, 28mpdan 702 1 |- (D e. Met -> (Cau` D) = {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  {cab 1456  A.wral 1637  E.wrex 1638  Vcvv 1802   (_ wss 2037   class class class wbr 2609   X. cxp 3158  dom cdm 3160  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206   <_ cle 5267  ZZcz 5270   < clt 5458  Metcme 7728  Caucca 7858
This theorem is referenced by:  iscau 7874  h2hcau 8788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we