HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem climaddc2 7055
Description: Limit of a constant C added to each term of a sequence.
Hypotheses
Ref Expression
climaddc1.1 |- F e. V
climaddc1.2 |- G e. V
climaddc1.3 |- A e. V
climaddc1.4 |- C e. V
Assertion
Ref Expression
climaddc2 |- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C + (F` k))))) -> G ~~> (C + A))
Distinct variable groups:   A,k   C,k   k,F   k,G   k,M
Proof of Theorem climaddc2
StepHypRef Expression
1 simprl 414 . . . 4 |- ((C e. CC /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C + (F` k))))) -> M e. ZZ)
2 axaddcom 5247 . . . . . . . . . . 11 |- ((C e. CC /\ (F` k) e. CC) -> (C + (F` k)) = ((F` k) + C))
32eqeq2d 1478 . . . . . . . . . 10 |- ((C e. CC /\ (F` k) e. CC) -> ((G` k) = (C + (F` k)) <-> (G` k) = ((F` k) + C)))
43biimpd 153 . . . . . . . . 9 |- ((C e. CC /\ (F` k) e. CC) -> ((G` k) = (C + (F` k)) -> (G` k) = ((F` k) + C)))
54ex 373 . . . . . . . 8 |- (C e. CC -> ((F` k) e. CC -> ((G` k) = (C + (F` k)) -> (G` k) = ((F` k) + C))))
65imdistand 445 . . . . . . 7 |- (C e. CC -> (((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C + (F` k))) -> ((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C))))
76r19.20sdv 1702 . . . . . 6 |- (C e. CC -> (A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C + (F` k))) -> A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C))))
87imp 350 . . . . 5 |- ((C e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C + (F` k)))) -> A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C)))
98adantrl 394 . . . 4 |- ((C e. CC /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C + (F` k))))) -> A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C)))
101, 9jca 288 . . 3 |- ((C e. CC /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C + (F` k))))) -> (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C))))
1110adantll 392 . 2 |- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C + (F` k))))) -> (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C))))
12 climaddc1.1 . . . 4 |- F e. V
13 climaddc1.2 . . . 4 |- G e. V
14 climaddc1.3 . . . 4 |- A e. V
15 climaddc1.4 . . . 4 |- C e. V
1612, 13, 14, 15climaddc1 7054 . . 3 |- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C)))) -> G ~~> (A + C))
17 axaddcom 5247 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ C e. CC) -> (A + C) = (C + A))
18 climcl 6916 . . . . . 6 |- ((A e. V /\ F ~~> A) -> A e. CC)
1914, 18mpan 693 . . . . 5 |- (F ~~> A -> A e. CC)
2017, 19sylan 448 . . . 4 |- ((F ~~> A /\ C e. CC) -> (A + C) = (C + A))
2120adantr 389 . . 3 |- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C)))) -> (A + C) = (C + A))
2216, 21breqtrd 2629 . 2 |- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C)))) -> G ~~> (C + A))
2311, 22syldan 467 1 |- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C + (F` k))))) -> G ~~> (C + A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  Vcvv 1802   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204   + caddc 5209  ZZcz 5270  ZZ>cuz 6349   ~~> cli 6912
This theorem is referenced by:  climaddc 7068  isum1p 7141  infcvglem2 7157  geolimilem 7170  efseq0ex 7253
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-uz 6350  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-clim 6913
Copyright terms: Public domain