HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem climshft2 7043
Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by Paul Chapman, 19-Nov-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1 |- F e. V
climshft2.2 |- G e. V
climshft2.3 |- M e. ZZ
climshft2.4 |- K e. ZZ
Assertion
Ref Expression
climshft2 |- ((A e. B /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (F ~~> A <-> G ~~> A))
Distinct variable groups:   k,F   k,G   k,K   k,M
Proof of Theorem climshft2
StepHypRef Expression
1 climcl 6916 . . . 4 |- ((A e. B /\ F ~~> A) -> A e. CC)
21anim1i 334 . . 3 |- (((A e. B /\ F ~~> A) /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)))
32an1rs 488 . 2 |- (((A e. B /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) /\ F ~~> A) -> (A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)))
4 climcl 6916 . . . 4 |- ((A e. B /\ G ~~> A) -> A e. CC)
54anim1i 334 . . 3 |- (((A e. B /\ G ~~> A) /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)))
65an1rs 488 . 2 |- (((A e. B /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) /\ G ~~> A) -> (A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)))
7 climshft2.4 . . . . . . . . 9 |- K e. ZZ
8 znegclt 6110 . . . . . . . . 9 |- (K e. ZZ -> -uK e. ZZ)
97, 8ax-mp 7 . . . . . . . 8 |- -uK e. ZZ
10 climshft2.2 . . . . . . . . 9 |- G e. V
1110shftfn 6280 . . . . . . . 8 |- (-uK e. ZZ -> (G shift -uK) Fn CC)
129, 11ax-mp 7 . . . . . . 7 |- (G shift -uK) Fn CC
13 0z 6093 . . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
14 climshft2.1 . . . . . . . . 9 |- F e. V
1514shftfn 6280 . . . . . . . 8 |- (0 e. ZZ -> (F shift 0) Fn CC)
1613, 15ax-mp 7 . . . . . . 7 |- (F shift 0) Fn CC
17 uzssz 6362 . . . . . . . . 9 |- (ZZ>` M) (_ ZZ
18 zsscn 6090 . . . . . . . . 9 |- ZZ (_ CC
1917, 18sstri 2063 . . . . . . . 8 |- (ZZ>` M) (_ CC
20 fvreseq 3784 . . . . . . . 8 |- ((((G shift -uK) Fn CC /\ (F shift 0) Fn CC) /\ (ZZ>` M) (_ CC) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) = ((F shift 0) |` (ZZ>` M)) <-> A.k e. (ZZ>` M)((G shift -uK)` k) = ((F shift 0)` k)))
2119, 20mpan2 694 . . . . . . 7 |- (((G shift -uK) Fn CC /\ (F shift 0) Fn CC) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) = ((F shift 0) |` (ZZ>` M)) <-> A.k e. (ZZ>` M)((G shift -uK)` k) = ((F shift 0)` k)))
2212, 16, 21mp2an 695 . . . . . 6 |- (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) = ((F shift 0) |` (ZZ>` M)) <-> A.k e. (ZZ>` M)((G shift -uK)` k) = ((F shift 0)` k))
23 eluzelz 6355 . . . . . . . . . 10 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. ZZ)
24 zcnt 6087 . . . . . . . . . 10 |- (k e. ZZ -> k e. CC)
2523, 24syl 10 . . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. CC)
267zre 6088 . . . . . . . . . . . 12 |- K e. RR
2726recn 5286 . . . . . . . . . . 11 |- K e. CC
2810shftval4t 6286 . . . . . . . . . . 11 |- ((K e. CC /\ k e. CC) -> ((G shift -uK)` k) = (G` (K + k)))
2927, 28mpan 693 . . . . . . . . . 10 |- (k e. CC -> ((G shift -uK)` k) = (G` (K + k)))
30 axaddcom 5247 . . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. CC /\ k e. CC) -> (K + k) = (k + K))
3127, 30mpan 693 . . . . . . . . . . 11 |- (k e. CC -> (K + k) = (k + K))
3231fveq2d 3713 . . . . . . . . . 10 |- (k e. CC -> (G` (K + k)) = (G` (k + K)))
3329, 32eqtrd 1499 . . . . . . . . 9 |- (k e. CC -> ((G shift -uK)` k) = (G` (k + K)))
3425, 33syl 10 . . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>` M) -> ((G shift -uK)` k) = (G` (k + K)))
3514shftidt 6292 . . . . . . . . 9 |- (k e. CC -> ((F shift 0)` k) = (F` k))
3625, 35syl 10 . . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>` M) -> ((F shift 0)` k) = (F` k))
3734, 36eqeq12d 1481 . . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>` M) -> (((G shift -uK)` k) = ((F shift 0)` k) <-> (G` (k + K)) = (F` k)))
3837ralbiia 1665 . . . . . 6 |- (A.k e. (ZZ>` M)((G shift -uK)` k) = ((F shift 0)` k) <-> A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k))
3922, 38bitr 173 . . . . 5 |- (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) = ((F shift 0) |` (ZZ>` M)) <-> A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k))
40 breq1 2612 . . . . 5 |- (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) = ((F shift 0) |` (ZZ>` M)) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> ((F shift 0) |` (ZZ>` M)) ~~> A))
4139, 40sylbir 201 . . . 4 |- (A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> ((F shift 0) |` (ZZ>` M)) ~~> A))
4241adantl 388 . . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> ((F shift 0) |` (ZZ>` M)) ~~> A))
43 oprex 3968 . . . . . 6 |- (G shift -uK) e. V
44 climshft2.3 . . . . . 6 |- M e. ZZ
4543, 44climres 7042 . . . . 5 |- (A e. CC -> (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> (G shift -uK) ~~> A))
4610, 9climshft 7041 . . . . 5 |- (A e. CC -> ((G shift -uK) ~~> A <-> G ~~> A))
4745, 46bitrd 526 . . . 4 |- (A e. CC -> (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> G ~~> A))
4847adantr 389 . . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> G ~~> A))
49 oprex 3968 . . . . . 6 |- (F shift 0) e. V
5049, 44climres 7042 . . . . 5 |- (A e. CC -> (((F shift 0) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> (F shift 0) ~~> A))
5114, 13climshft 7041 . . . . 5 |- (A e. CC -> ((F shift 0) ~~> A <-> F ~~> A))
5250, 51bitrd 526 . . . 4 |- (A e. CC -> (((F shift 0) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> F ~~> A))
5352adantr 389 . . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (((F shift 0) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> F ~~> A))
5442, 48, 533bitr3rd 547 . 2 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (F ~~> A <-> G ~~> A))
553, 6, 54pm5.21nd 678 1 |- ((A e. B /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (F ~~> A <-> G ~~> A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  Vcvv 1802   (_ wss 2037   class class class wbr 2609   |` cres 3162   Fn wfn 3167  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206   + caddc 5209  -ucneg 5265  ZZcz 5270   shift cshi 6277  ZZ>cuz 6349   ~~> cli 6912
This theorem is referenced by:  iserzshft2 7044
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf