HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem divval 5673
Description: Value of division: the (unique) element x such that (B x. x) = A. This is meaningful only when B is nonzero.
Hypotheses
Ref Expression
divval.1 |- A e. CC
divval.2 |- B e. CC
divval.3 |- B =/= 0
Assertion
Ref Expression
divval |- (A / B) = U.{x e. CC | (B x. x) = A}
Distinct variable groups:   x,A   x,B
Proof of Theorem divval
StepHypRef Expression
1 divval.1 . 2 |- A e. CC
2 eldifsn 2453 . . 3 |- (B e. (CC \ {0}) <-> (B e. CC /\ B =/= 0))
3 divval.2 . . 3 |- B e. CC
4 divval.3 . . 3 |- B =/= 0
52, 3, 4mpbir2an 728 . 2 |- B e. (CC \ {0})
6 axcnex 5239 . . . . 5 |- CC e. V
76rabex 2715 . . . 4 |- {x e. CC | (B x. x) = A} e. V
87uniex 2861 . . 3 |- U.{x e. CC | (B x. x) = A} e. V
9 eqeq2 1476 . . . . 5 |- (y = A -> ((z x. x) = y <-> (z x. x) = A))
109rabbisdv 1798 . . . 4 |- (y = A -> {x e. CC | (z x. x) = y} = {x e. CC | (z x. x) = A})
1110unieqd 2502 . . 3 |- (y = A -> U.{x e. CC | (z x. x) = y} = U.{x e. CC | (z x. x) = A})
12 opreq1 3953 . . . . . 6 |- (z = B -> (z x. x) = (B x. x))
1312eqeq1d 1475 . . . . 5 |- (z = B -> ((z x. x) = A <-> (B x. x) = A))
1413rabbisdv 1798 . . . 4 |- (z = B -> {x e. CC | (z x. x) = A} = {x e. CC | (B x. x) = A})
1514unieqd 2502 . . 3 |- (z = B -> U.{x e. CC | (z x. x) = A} = U.{x e. CC | (B x. x) = A})
16 df-div 5672 . . 3 |- / = {<.<.y, z>., w>. | ((y e. CC /\ z e. (CC \ {0})) /\ w = U.{x e. CC | (z x. x) = y})}
178, 11, 15, 16oprabval2 4013 . 2 |- ((A e. CC /\ B e. (CC \ {0})) -> (A / B) = U.{x e. CC | (B x. x) = A})
181, 5, 17mp2an 695 1 |- (A / B) = U.{x e. CC | (B x. x) = A}
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  {crab 1640   \ cdif 2034  {csn 2399  U.cuni 2493  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206   x. cmul 5211   / cdiv 5266
This theorem is referenced by:  divmul 5674  divcl 5679
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-qs 4250  df-ni 4972  df-nq 5010  df-np 5058  df-nr 5139  df-c 5212  df-div 5672
Copyright terms: Public domain