HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem elirrv 4578
Description: The membership relation is irreflexive: no set is a member of itself. Theorem 105 of [Suppes] p. 54. (This is trivial to prove from zfregfr 4581 and efrirr 2923, but this proof is direct from the Axiom of Regularity.)
Assertion
Ref Expression
elirrv |- -. x e. x
Proof of Theorem elirrv
StepHypRef Expression
1 eleq1 1531 . . . 4 |- (y = x -> (y e. {x} <-> x e. {x}))
2 visset 1809 . . . . 5 |- x e. V
32snid 2431 . . . 4 |- x e. {x}
41, 3a4eiv 1272 . . 3 |- E.y y e. {x}
5 snex 2745 . . . 4 |- {x} e. V
65zfregcl 4575 . . 3 |- (E.y y e. {x} -> E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
74, 6ax-mp 7 . 2 |- E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x}
8 ax-14 968 . . . . . . . . 9 |- (x = y -> (x e. x -> x e. y))
98equcoms 1128 . . . . . . . 8 |- (y = x -> (x e. x -> x e. y))
109com12 11 . . . . . . 7 |- (x e. x -> (y = x -> x e. y))
11 elsn 2417 . . . . . . 7 |- (y e. {x} <-> y = x)
1210, 11syl5ib 206 . . . . . 6 |- (x e. x -> (y e. {x} -> x e. y))
13 eleq1 1531 . . . . . . . . 9 |- (z = x -> (z e. {x} <-> x e. {x}))
1413negbid 610 . . . . . . . 8 |- (z = x -> (-. z e. {x} <-> -. x e. {x}))
1514rcla4cv 1870 . . . . . . 7 |- (A.z e. y -. z e. {x} -> (x e. y -> -. x e. {x}))
163, 15mt2i 110 . . . . . 6 |- (A.z e. y -. z e. {x} -> -. x e. y)
1712, 16nsyli 121 . . . . 5 |- (x e. x -> (A.z e. y -. z e. {x} -> -. y e. {x}))
1817con2d 91 . . . 4 |- (x e. x -> (y e. {x} -> -. A.z e. y -. z e. {x}))
1918r19.21aiv 1710 . . 3 |- (x e. x -> A.y e. {x} -. A.z e. y -. z e. {x})
20 ralnex 1650 . . 3 |- (A.y e. {x} -. A.z e. y -. z e. {x} <-> -. E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
2119, 20sylib 198 . 2 |- (x e. x -> -. E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
227, 21mt2 109 1 |- -. x e. x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  A.wral 1642  E.wrex 1643  {csn 2405
This theorem is referenced by:  elirr 4579  aceq6b 4722  nd1 4918  nd2 4919  nd3 4920  axunnd 4928  axregndlem1 4934  axregndlem2 4935  axregnd 4936
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-reg 4573
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409
Copyright terms: Public domain