HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem expordt 6533
Description: Ordering law for exponentiation.
Assertion
Ref Expression
expordt |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> (M < N <-> (A^M) < (A^N)))
Proof of Theorem expordt
StepHypRef Expression
1 expordit 6531 . . . 4 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 < A /\ M < N)) -> (A^M) < (A^N))
21exp32 377 . . 3 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 < A -> (M < N -> (A^M) < (A^N))))
32imp 350 . 2 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> (M < N -> (A^M) < (A^N)))
4 expcant 6532 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> ((A^M) = (A^N) <-> M = N))
54biimprd 154 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> (M = N -> (A^M) = (A^N)))
6 expordit 6531 . . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ N e. NN0 /\ M e. NN0) /\ (1 < A /\ N < M)) -> (A^N) < (A^M))
76exp32 377 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ M e. NN0) -> (1 < A -> (N < M -> (A^N) < (A^M))))
873com23 837 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 < A -> (N < M -> (A^N) < (A^M))))
98imp 350 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> (N < M -> (A^N) < (A^M)))
105, 9orim12d 563 . . . 4 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> ((M = N \/ N < M) -> ((A^M) = (A^N) \/ (A^N) < (A^M))))
1110con3d 95 . . 3 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> (-. ((A^M) = (A^N) \/ (A^N) < (A^M)) -> -. (M = N \/ N < M)))
12 axlttri 5475 . . . . . 6 |- (((A^M) e. RR /\ (A^N) e. RR) -> ((A^M) < (A^N) <-> -. ((A^M) = (A^N) \/ (A^N) < (A^M))))
13 reexpclt 6512 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ M e. NN0) -> (A^M) e. RR)
14 reexpclt 6512 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. NN0) -> (A^N) e. RR)
1512, 13, 14syl2an 454 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ M e. NN0) /\ (A e. RR /\ N e. NN0)) -> ((A^M) < (A^N) <-> -. ((A^M) = (A^N) \/ (A^N) < (A^M))))
16153impdi 877 . . . 4 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((A^M) < (A^N) <-> -. ((A^M) = (A^N) \/ (A^N) < (A^M))))
1716adantr 389 . . 3 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> ((A^M) < (A^N) <-> -. ((A^M) = (A^N) \/ (A^N) < (A^M))))
18 axlttri 5475 . . . . . 6 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (M < N <-> -. (M = N \/ N < M)))
19 nn0ret 6055 . . . . . 6 |- (M e. NN0 -> M e. RR)
20 nn0ret 6055 . . . . . 6 |- (N e. NN0 -> N e. RR)
2118, 19, 20syl2an 454 . . . . 5 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M < N <-> -. (M = N \/ N < M)))
22213adant1 795 . . . 4 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M < N <-> -. (M = N \/ N < M)))
2322adantr 389 . . 3 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> (M < N <-> -. (M = N \/ N < M)))
2411, 17, 233imtr4d 541 . 2 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> ((A^M) < (A^N) -> M < N))
253, 24impbid 514 1 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> (M < N <-> (A^M) < (A^N)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  RRcr 5205  1c1 5207  NN0cn0 5269   < clt 5458  ^cexp 6500
This theorem is referenced by:  expwordit 6534  expord2t 6535
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501
Copyright terms: Public domain