HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem expubndt 6539
Description: An upper bound on A^N when 2 <_ A.
Assertion
Ref Expression
expubndt |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (A^N) <_ ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
Proof of Theorem expubndt
StepHypRef Expression
1 expmwordit 6537 . . 3 |- (((A e. RR /\ (2 x. (A - 1)) e. RR /\ N e. NN0) /\ (0 <_ A /\ A <_ (2 x. (A - 1)))) -> (A^N) <_ ((2 x. (A - 1))^N))
2 3simp1 786 . . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> A e. RR)
3 peano2rem 5414 . . . . . 6 |- (A e. RR -> (A - 1) e. RR)
4 2re 5926 . . . . . . 7 |- 2 e. RR
5 axmulrcl 5246 . . . . . . 7 |- ((2 e. RR /\ (A - 1) e. RR) -> (2 x. (A - 1)) e. RR)
64, 5mpan 693 . . . . . 6 |- ((A - 1) e. RR -> (2 x. (A - 1)) e. RR)
73, 6syl 10 . . . . 5 |- (A e. RR -> (2 x. (A - 1)) e. RR)
873ad2ant1 798 . . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (2 x. (A - 1)) e. RR)
9 3simp2 787 . . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> N e. NN0)
102, 8, 93jca 817 . . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (A e. RR /\ (2 x. (A - 1)) e. RR /\ N e. NN0))
11 0re 5412 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
12 2pos 5936 . . . . . . . 8 |- 0 < 2
1311, 4, 12ltlei 5554 . . . . . . 7 |- 0 <_ 2
14 letrt 5498 . . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ 2 e. RR /\ A e. RR) -> ((0 <_ 2 /\ 2 <_ A) -> 0 <_ A))
1511, 4, 14mp3an12 903 . . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((0 <_ 2 /\ 2 <_ A) -> 0 <_ A))
1613, 15mpani 696 . . . . . 6 |- (A e. RR -> (2 <_ A -> 0 <_ A))
1716imp 350 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> 0 <_ A)
18 resubclt 5410 . . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ 2 e. RR) -> (A - 2) e. RR)
194, 18mpan2 694 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (A - 2) e. RR)
20 leadd2t 5600 . . . . . . . . 9 |- ((2 e. RR /\ A e. RR /\ (A - 2) e. RR) -> (2 <_ A <-> ((A - 2) + 2) <_ ((A - 2) + A)))
214, 20mp3an1 900 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ (A - 2) e. RR) -> (2 <_ A <-> ((A - 2) + 2) <_ ((A - 2) + A)))
2219, 21mpdan 702 . . . . . . 7 |- (A e. RR -> (2 <_ A <-> ((A - 2) + 2) <_ ((A - 2) + A)))
2322biimpa 416 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> ((A - 2) + 2) <_ ((A - 2) + A))
24 recnt 5285 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
25 2cn 5927 . . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
26 npcant 5371 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ 2 e. CC) -> ((A - 2) + 2) = A)
2725, 26mpan2 694 . . . . . . . 8 |- (A e. CC -> ((A - 2) + 2) = A)
2824, 27syl 10 . . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((A - 2) + 2) = A)
2928adantr 389 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> ((A - 2) + 2) = A)
30 ax1cn 5241 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
31 subdit 5399 . . . . . . . . . 10 |- ((2 e. CC /\ A e. CC /\ 1 e. CC) -> (2 x. (A - 1)) = ((2 x. A) - (2 x. 1)))
3225, 30, 31mp3an13 904 . . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (2 x. (A - 1)) = ((2 x. A) - (2 x. 1)))
33 2timest 5951 . . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (2 x. A) = (A + A))
3425mulid1 5304 . . . . . . . . . . 11 |- (2 x. 1) = 2
3534a1i 8 . . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (2 x. 1) = 2)
3633, 35opreq12d 3963 . . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> ((2 x. A) - (2 x. 1)) = ((A + A) - 2))
37 addsubt 5356 . . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ A e. CC /\ 2 e. CC) -> ((A + A) - 2) = ((A - 2) + A))
3825, 37mp3an3 902 . . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ A e. CC) -> ((A + A) - 2) = ((A - 2) + A))
3938anidms 434 . . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> ((A + A) - 2) = ((A - 2) + A))
4032, 36, 393eqtrrd 1504 . . . . . . . 8 |- (A e. CC -> ((A - 2) + A) = (2 x. (A - 1)))
4124, 40syl 10 . . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((A - 2) + A) = (2 x. (A - 1)))
4241adantr 389 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> ((A - 2) + A) = (2 x. (A - 1)))
4323, 29, 423brtr3d 2634 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> A <_ (2 x. (A - 1)))
4417, 43jca 288 . . . 4 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> (0 <_ A /\ A <_ (2 x. (A - 1))))
45443adant2 796 . . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (0 <_ A /\ A <_ (2 x. (A - 1))))
461, 10, 45sylanc 471 . 2 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (A^N) <_ ((2 x. (A - 1))^N))
47 mulexpt 6525 . . . . 5 |- ((2 e. CC /\ (A - 1) e. CC /\ N e. NN0) -> ((2 x. (A - 1))^N) = ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
4825, 47mp3an1 900 . . . 4 |- (((A - 1) e. CC /\ N e. NN0) -> ((2 x. (A - 1))^N) = ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
493recnd 5287 . . . 4 |- (A e. RR -> (A - 1) e. CC)
5048, 49sylan 448 . . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0) -> ((2 x. (A - 1))^N) = ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
51503adant3 797 . 2 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> ((2 x. (A - 1))^N) = ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
5246, 51breqtrd 2629 1 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (A^N) <_ ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264   <_ cle 5267  NN0cn0 5269  2c2 5908  ^cexp 6500
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1 6885
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501
Copyright terms: Public domain