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Theorem fundmen 4409

Description: A function is equinumerous to its domain. Exercise 4 of [Suppes] p. 98.

Hypothesis

Ref	Expression
fundmen.1

Assertion

Ref	Expression
fundmen

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Proof of Theorem fundmen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fundmen.1	. . . 4
2		dmexg 3344	. . . 4
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3
4	3	a1i 8	. 2
5		funfvop 3788	. . 3
6	5	ex 373	. 2
7		funrel 3519	. . 3
8		elreldm 3327	. . . 4
9	8	ex 373	. . 3
10	7, 9	syl 10	. 2
11		ssel2 2054	. . . . . . . 8
12		df-rel 3175	. . . . . . . . 9
13	7, 12	sylib 198	. . . . . . . 8
14	11, 13	sylan 448	. . . . . . 7
15		elvv 3218	. . . . . . 7
16	14, 15	sylib 198	. . . . . 6
17		eqeq1 1473	. . . . . . . . . . . . . . 15
18		inteq 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
19	18	inteqd 2528	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20		visset 1804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	20	op1stb 2903	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	19, 21	syl6eq 1515	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	17, 22	syl5bir 210	. . . . . . . . . . . . . 14
24		opeq1 2478	. . . . . . . . . . . . . 14
25	23, 24	syl6 22	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	imp 350	. . . . . . . . . . . 12
27		eqeq2 1476	. . . . . . . . . . . . . 14
28	27	biimprcd 156	. . . . . . . . . . . . 13
29	28	adantl 388	. . . . . . . . . . . 12
30	26, 29	mpd 26	. . . . . . . . . . 11
31	30	ancoms 436	. . . . . . . . . 10
32	31	adantl 388	. . . . . . . . 9
33	30	eleq1d 1532	. . . . . . . . . . . . . . 15
34	33	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . 14
35		visset 1804	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	funopfv 3736	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . 14
38	34, 37	sylbid 203	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	exp32 377	. . . . . . . . . . . 12
40	39	com24 37	. . . . . . . . . . 11
41	40	imp43 370	. . . . . . . . . 10
42	41	opeq2d 2485	. . . . . . . . 9
43	32, 42	eqtr4d 1502	. . . . . . . 8
44	43	exp32 377	. . . . . . 7
45	44	19.23advv 1292	. . . . . 6
46	16, 45	mpd 26	. . . . 5
47	46	adantrl 394	. . . 4
48		inteq 2526	. . . . . 6
49	48	inteqd 2528	. . . . 5
50		visset 1804	. . . . . 6
51	50	op1stb 2903	. . . . 5
52	49, 51	syl6req 1516	. . . 4
53	47, 52	impbid1 515	. . 3
54	53	ex 373	. 2
55	4, 6, 10, 54	en3d 4382	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:   wi 3   wb 146   wa 223   wceq 953   wcel 955  wex 977  cvv 1802   wss 2037  cop 2401  cint 2523   class class class wbr 2609   cxp 3158   cdm 3160   wrel 3165   wfun 3166  cfv 3172   cen 4348

This theorem is referenced by:  infmap2 7523

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-en 4351

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