HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem funssres 3538
Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass.
Assertion
Ref Expression
funssres |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (F |` dom G) = G)
Proof of Theorem funssres
StepHypRef Expression
1 ssel 2053 . . . . . . 7 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> <.x, y>. e. F))
2 visset 1804 . . . . . . . . 9 |- x e. V
32opeldm 3303 . . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. G -> x e. dom G)
43a1i 8 . . . . . . 7 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> x e. dom G))
51, 4jcad 598 . . . . . 6 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
65adantl 388 . . . . 5 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
7 eupick 1427 . . . . . . . . . . . 12 |- ((E!y<.x, y>. e. F /\ E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)) -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))
8 funeu2 3524 . . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun F /\ <.x, y>. e. F) -> E!y<.x, y>. e. F)
91ancrd 299 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
10919.22dv 1285 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (G (_ F -> (E.y<.x, y>. e. G -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
112eldm2 3297 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. dom G <-> E.y<.x, y>. e. G)
1210, 11syl5ib 206 . . . . . . . . . . . . 13 |- (G (_ F -> (x e. dom G -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
1312imp 350 . . . . . . . . . . . 12 |- ((G (_ F /\ x e. dom G) -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G))
147, 8, 13syl2an 454 . . . . . . . . . . 11 |- (((Fun F /\ <.x, y>. e. F) /\ (G (_ F /\ x e. dom G)) -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))
1514exp43 384 . . . . . . . . . 10 |- (Fun F -> (<.x, y>. e. F -> (G (_ F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G)))))
1615com23 32 . . . . . . . . 9 |- (Fun F -> (G (_ F -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G)))))
1716imp 350 . . . . . . . 8 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))))
1817com34 36 . . . . . . 7 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> <.x, y>. e. G))))
1918pm2.43d 65 . . . . . 6 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> <.x, y>. e. G)))
2019imp3a 361 . . . . 5 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> ((<.x, y>. e. F /\ x e. dom G) -> <.x, y>. e. G))
216, 20impbid 514 . . . 4 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. G <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
22 visset 1804 . . . . 5 |- y e. V
2322opelres 3356 . . . 4 |- (<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G))
2421, 23syl6rbbr 537 . . 3 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G))
252419.21aivv 1282 . 2 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G))
26 relss 3236 . . . . . 6 |- (G (_ F -> (Rel F -> Rel G))
27 funrel 3519 . . . . . 6 |- (Fun F -> Rel F)
2826, 27syl5com 52 . . . . 5 |- (Fun F -> (G (_ F -> Rel G))
2928imp 350 . . . 4 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> Rel G)
30 relres 3371 . . . 4 |- Rel (F |` dom G)
3129, 30jctil 292 . . 3 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (Rel (F |` dom G) /\ Rel G))
32 eqrel 3240 . . 3 |- ((Rel (F |` dom G) /\ Rel G) -> ((F |` dom G) = G <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G)))
3331, 32syl 10 . 2 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> ((F |` dom G) = G <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G)))
3425, 33mpbird 196 1 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (F |` dom G) = G)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  E!weu 1373   (_ wss 2037  <.cop 2401  dom cdm 3160   |` cres 3162  Rel wrel 3165  Fun wfun 3166
This theorem is referenced by:  fun2ssres 3539  funcnvres 3554  funssfv 3720  oprssoprval 4019  climuz0 7045  dfef2 7249  metcnss 7837  metcnss2 7838
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-res 3180  df-fun 3182
Copyright terms: Public domain