HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem gtndivt 6140
Description: A larger number does not divide a smaller natural number.
Assertion
Ref Expression
gtndivt |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> -. (B / A) e. ZZ)
Proof of Theorem gtndivt
StepHypRef Expression
1 0z 6093 . . 3 |- 0 e. ZZ
2 btwnnzt 6139 . . 3 |- ((0 e. ZZ /\ 0 < (B / A) /\ (B / A) < (0 + 1)) -> -. (B / A) e. ZZ)
31, 2mp3an1 900 . 2 |- ((0 < (B / A) /\ (B / A) < (0 + 1)) -> -. (B / A) e. ZZ)
4 divgt0t 5809 . . 3 |- (((B e. RR /\ 0 < B) /\ (A e. RR /\ 0 < A)) -> 0 < (B / A))
5 nnret 5877 . . . 4 |- (B e. NN -> B e. RR)
653ad2ant2 799 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> B e. RR)
7 nngt0t 5894 . . . 4 |- (B e. NN -> 0 < B)
873ad2ant2 799 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> 0 < B)
9 3simp1 786 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> A e. RR)
107adantl 388 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN) -> 0 < B)
11 0re 5412 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
12 axlttrn 5476 . . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
1311, 12mp3an1 900 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ A e. RR) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
1413, 5sylan 448 . . . . . 6 |- ((B e. NN /\ A e. RR) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
1514ancoms 436 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
1610, 15mpand 699 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. NN) -> (B < A -> 0 < A))
17163impia 828 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> 0 < A)
184, 6, 8, 9, 17syl2anc 472 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> 0 < (B / A))
19 3simp3 788 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> B < A)
20 1re 5407 . . . . . . 7 |- 1 e. RR
21 ltdivmul2t 5821 . . . . . . 7 |- (((B e. RR /\ A e. RR /\ 1 e. RR) /\ 0 < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < (1 x. A)))
2220, 21mp3anl3 909 . . . . . 6 |- (((B e. RR /\ A e. RR) /\ 0 < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < (1 x. A)))
236, 9jca 288 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B e. RR /\ A e. RR))
2422, 23, 17sylanc 471 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < (1 x. A)))
25 recnt 5285 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
26 mulid2t 5389 . . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (1 x. A) = A)
2725, 26syl 10 . . . . . . 7 |- (A e. RR -> (1 x. A) = A)
2827breq2d 2620 . . . . . 6 |- (A e. RR -> (B < (1 x. A) <-> B < A))
29283ad2ant1 798 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B < (1 x. A) <-> B < A))
3024, 29bitrd 526 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < A))
3119, 30mpbird 196 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B / A) < 1)
32 ax1cn 5241 . . . 4 |- 1 e. CC
3332addid2 5303 . . 3 |- (0 + 1) = 1
3431, 33syl6breqr 2645 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B / A) < (0 + 1))
353, 18, 34sylanc 471 1 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> -. (B / A) e. ZZ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   / cdiv 5266  NNcn 5268  ZZcz 5270   < clt 5458
This theorem is referenced by:  primet 6142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083
Copyright terms: Public domain