HomeHome Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem hhph 8966
Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space.
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
Assertion
Ref Expression
hhph |- U e. CPreHil
Proof of Theorem hhph
StepHypRef Expression
1 hilabl 8948 . . . 4 |- +h e. Abel
21elisseti 1809 . . 3 |- +h e. V
3 hvmulex 8802 . . 3 |- .h e. V
4 normf 8910 . . . 4 |- normh:H~-->RR
5 ax-hilex 8790 . . . 4 |- H~ e. V
6 fex 3637 . . . 4 |- ((normh:H~-->RR /\ H~ e. V) -> normh e. V)
74, 5, 6mp2an 695 . . 3 |- normh e. V
8 ablgrp 8038 . . . . . . 7 |- ( +h e. Abel -> +h e. Grp)
91, 8ax-mp 7 . . . . . 6 |- +h e. Grp
10 ax-hfvadd 8791 . . . . . 6 |- +h :(H~ X. H~)-->H~
119, 10grprnOLD 7991 . . . . 5 |- H~ = ran +h
1211isphg 8407 . . . 4 |- (( +h e. V /\ .h e. V /\ normh e. V) -> (<.<. +h , .h >., normh>. e. CPreHil <-> (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))))))
13 hhnv.1 . . . . 5 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
1413eleq1i 1529 . . . 4 |- (U e. CPreHil <-> <.<. +h , .h >., normh>. e. CPreHil)
1512, 14syl5bb 530 . . 3 |- (( +h e. V /\ .h e. V /\ normh e. V) -> (U e. CPreHil <-> (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))))))
162, 3, 7, 15mp3an 913 . 2 |- (U e. CPreHil <-> (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2)))))
17 eqid 1468 . . 3 |- <.<. +h , .h >., normh>. = <.<. +h , .h >., normh>.
1817hhnv 8953 . 2 |- <.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec
19 normpart 8943 . . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
20 hvsubvalt 8807 . . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x -h y) = (x +h (-u1 .h y)))
2120fveq2d 3713 . . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (normh` (x -h y)) = (normh` (x +h (-u1 .h y))))
2221opreq1d 3960 . . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((normh` (x -h y))^2) = ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2))
2322opreq2d 3961 . . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x -h y))^2)) = (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)))
24 axaddcom 5247 . . . . . 6 |- ((((normh` (x +h y))^2) e. CC /\ ((normh` (x -h y))^2) e. CC) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x -h y))^2)) = (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)))
25 hvaddclt 8803 . . . . . . . . 9 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +h y) e. H~)
26 normclt 8912 . . . . . . . . 9 |- ((x +h y) e. H~ -> (normh` (x +h y)) e. RR)
2725, 26syl 10 . . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (normh` (x +h y)) e. RR)
2827recnd 5287 . . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (normh` (x +h y)) e. CC)
29 sqclt 6542 . . . . . . 7 |- ((normh` (x +h y)) e. CC -> ((normh` (x +h y))^2) e. CC)
3028, 29syl 10 . . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((normh` (x +h y))^2) e. CC)
31 hvsubclt 8808 . . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x -h y) e. H~)
32 normclt 8912 . . . . . . . 8 |- ((x -h y) e. H~ -> (normh` (x -h y)) e. RR)
3332recnd 5287 . . . . . . 7 |- ((x -h y) e. H~ -> (normh` (x -h y)) e. CC)
34 sqclt 6542 . . . . . . 7 |- ((normh` (x -h y)) e. CC -> ((normh` (x -h y))^2) e. CC)
3531, 33, 343syl 20 . . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((normh` (x -h y))^2) e. CC)
3624, 30, 35sylanc 471 . . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x -h y))^2)) = (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)))
3723, 36eqtr3d 1501 . . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)))
38 2cn 5927 . . . . . 6 |- 2 e. CC
39 axdistr 5251 . . . . . 6 |- ((2 e. CC /\ ((normh` x)^2) e. CC /\ ((normh` y)^2) e. CC) -> (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
4038, 39mp3an1 900 . . . . 5 |- ((((normh` x)^2) e. CC /\ ((normh` y)^2) e. CC) -> (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
41 normclt 8912 . . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (normh` x) e. RR)
4241recnd 5287 . . . . . 6 |- (x e. H~ -> (normh` x) e. CC)
43 sqclt 6542 . . . . . 6 |- ((normh` x) e. CC -> ((normh` x)^2) e. CC)
4442, 43syl 10 . . . . 5 |- (x e. H~ -> ((normh` x)^2) e. CC)
45 normclt 8912 . . . . . . 7 |- (y e. H~ -> (normh` y) e. RR)
4645recnd 5287 . . . . . 6 |- (y e. H~ -> (normh` y) e. CC)
47 sqclt 6542 . . . . . 6 |- ((normh` y) e. CC -> ((normh` y)^2) e. CC)
4846, 47syl 10 . . . . 5 |- (y e. H~ -> ((normh` y)^2) e. CC)
4940, 44, 48syl2an 454 . . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
5019, 37, 493eqtr4d 1509 . . 3 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))))
5150rgen2a 1691 . 2 |- A.x e. H~ A.y e. H~ (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2)))
5216, 18, 51mpbir2an 728 1 |- U e. CPreHil
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  Vcvv 1802  <.cop 2401  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211  -ucneg 5265  2c2 5908  ^cexp 6500  Grpcgr 7967  Abelcabl 8035  NrmCVeccnv 8141  CPreHilcphl 8402  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729   -h cmv 8731  normhcno 8733
This theorem is referenced by:  bcsHIL 8968  hhhl 8994  hhssph 9063
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq