HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem imcjt 6754
Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate.
Assertion
Ref Expression
imcjt |- (A e. CC -> (Im` A) = ((A - (*` A)) / (2 x. i)))
Proof of Theorem imcjt
StepHypRef Expression
1 imclt 6689 . . . 4 |- (A e. CC -> (Im` A) e. RR)
21recnd 5287 . . 3 |- (A e. CC -> (Im` A) e. CC)
3 2cn 5927 . . . . 5 |- 2 e. CC
4 axicn 5242 . . . . 5 |- i e. CC
53, 4mulcl 5293 . . . 4 |- (2 x. i) e. CC
6 2ne0 5937 . . . . 5 |- 2 =/= 0
7 ine0 5406 . . . . 5 |- i =/= 0
83, 4, 6, 7muln0 5668 . . . 4 |- (2 x. i) =/= 0
9 divcan4t 5719 . . . 4 |- (((2 x. i) e. CC /\ (Im` A) e. CC /\ (2 x. i) =/= 0) -> (((Im` A) x. (2 x. i)) / (2 x. i)) = (Im` A))
105, 8, 9mp3an13 904 . . 3 |- ((Im` A) e. CC -> (((Im` A) x. (2 x. i)) / (2 x. i)) = (Im` A))
112, 10syl 10 . 2 |- (A e. CC -> (((Im` A) x. (2 x. i)) / (2 x. i)) = (Im` A))
12 subsubt 5434 . . . . 5 |- ((((Re` A) + (i x. (Im` A))) e. CC /\ (Re` A) e. CC /\ (i x. (Im` A)) e. CC) -> (((Re` A) + (i x. (Im` A))) - ((Re` A) - (i x. (Im` A)))) = ((((Re` A) + (i x. (Im` A))) - (Re` A)) + (i x. (Im` A))))
13 axaddcl 5243 . . . . . 6 |- (((Re` A) e. CC /\ (i x. (Im` A)) e. CC) -> ((Re` A) + (i x. (Im` A))) e. CC)
14 reclt 6688 . . . . . . 7 |- (A e. CC -> (Re` A) e. RR)
1514recnd 5287 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (Re` A) e. CC)
16 axmulcl 5245 . . . . . . . 8 |- ((i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> (i x. (Im` A)) e. CC)
174, 16mpan 693 . . . . . . 7 |- ((Im` A) e. CC -> (i x. (Im` A)) e. CC)
182, 17syl 10 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (i x. (Im` A)) e. CC)
1913, 15, 18sylanc 471 . . . . 5 |- (A e. CC -> ((Re` A) + (i x. (Im` A))) e. CC)
2012, 19, 15, 18syl3anc 856 . . . 4 |- (A e. CC -> (((Re` A) + (i x. (Im` A))) - ((Re` A) - (i x. (Im` A)))) = ((((Re` A) + (i x. (Im` A))) - (Re` A)) + (i x. (Im` A))))
21 replimt 6692 . . . . 5 |- (A e. CC -> A = ((Re` A) + (i x. (Im` A))))
22 cjvalt 6695 . . . . 5 |- (A e. CC -> (*` A) = ((Re` A) - (i x. (Im` A))))
2321, 22opreq12d 3963 . . . 4 |- (A e. CC -> (A - (*` A)) = (((Re` A) + (i x. (Im` A))) - ((Re` A) - (i x. (Im` A)))))
24 2timest 5951 . . . . . 6 |- ((i x. (Im` A)) e. CC -> (2 x. (i x. (Im` A))) = ((i x. (Im` A)) + (i x. (Im` A))))
2518, 24syl 10 . . . . 5 |- (A e. CC -> (2 x. (i x. (Im` A))) = ((i x. (Im` A)) + (i x. (Im` A))))
26 axmulcom 5248 . . . . . . . 8 |- (((Im` A) e. CC /\ (2 x. i) e. CC) -> ((Im` A) x. (2 x. i)) = ((2 x. i) x. (Im` A)))
275, 26mpan2 694 . . . . . . 7 |- ((Im` A) e. CC -> ((Im` A) x. (2 x. i)) = ((2 x. i) x. (Im` A)))
28 axmulass 5250 . . . . . . . 8 |- ((2 e. CC /\ i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> ((2 x. i) x. (Im` A)) = (2 x. (i x. (Im` A))))
293, 4, 28mp3an12 903 . . . . . . 7 |- ((Im` A) e. CC -> ((2 x. i) x. (Im` A)) = (2 x. (i x. (Im` A))))
3027, 29eqtrd 1499 . . . . . 6 |- ((Im` A) e. CC -> ((Im` A) x. (2 x. i)) = (2 x. (i x. (Im` A))))
312, 30syl 10 . . . . 5 |- (A e. CC -> ((Im` A) x. (2 x. i)) = (2 x. (i x. (Im` A))))
32 pncan2t 5370 . . . . . . 7 |- (((Re` A) e. CC /\ (i x. (Im` A)) e. CC) -> (((Re` A) + (i x. (Im` A))) - (Re` A)) = (i x. (Im` A)))
3332, 15, 18sylanc 471 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (((Re` A) + (i x. (Im` A))) - (Re` A)) = (i x. (Im` A)))
3433opreq1d 3960 . . . . 5 |- (A e. CC -> ((((Re` A) + (i x. (Im` A))) - (Re` A)) + (i x. (Im` A))) = ((i x. (Im` A)) + (i x. (Im` A))))
3525, 31, 343eqtr4d 1509 . . . 4 |- (A e. CC -> ((Im` A) x. (2 x. i)) = ((((Re` A) + (i x. (Im` A))) - (Re` A)) + (i x. (Im` A))))
3620, 23, 353eqtr4rd 1510 . . 3 |- (A e. CC -> ((Im` A) x. (2 x. i)) = (A - (*` A)))
3736opreq1d 3960 . 2 |- (A e. CC -> (((Im` A) x. (2 x. i)) / (2 x. i)) = ((A - (*` A)) / (2 x. i)))
3811, 37eqtr3d 1501 1 |- (A e. CC -> (Im` A) = ((A - (*` A)) / (2 x. i)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264   / cdiv 5266  2c2 5908  Recre 6678  Imcim 6679  *ccj 6680
This theorem is referenced by:  resinvalt 7375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-2 5917  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684
Copyright terms: Public domain