HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem inf3lemb 4582
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 4592 for detailed description.
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 |- G = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}
inf3lem.2 |- F = (rec(G, (/)) |` om)
inf3lem.3 |- A e. V
inf3lem.4 |- B e. V
Assertion
Ref Expression
inf3lemb |- (F` (/)) = (/)
Distinct variable group:   x,y,z,w
Proof of Theorem inf3lemb
StepHypRef Expression
1 inf3lem.2 . . 3 |- F = (rec(G, (/)) |` om)
21fveq1i 3710 . 2 |- (F` (/)) = ((rec(G, (/)) |` om)` (/))
3 0ex 2701 . . 3 |- (/) e. V
4 fr0t 3937 . . 3 |- ((/) e. V -> ((rec(G, (/)) |` om)` (/)) = (/))
53, 4ax-mp 7 . 2 |- ((rec(G, (/)) |` om)` (/)) = (/)
62, 5eqtr 1487 1 |- (F` (/)) = (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 953   e. wcel 955  {crab 1640  Vcvv 1802   i^i cin 2036   (_ wss 2037  (/)c0 2270  {copab 2656  omcom 3121   |` cres 3162  ` cfv 3172  reccrdg 3916
This theorem is referenced by:  inf3lemd 4584  inf3lem1 4585  inf3lem2 4586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917
Copyright terms: Public domain