HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem infn0 4512
Description: An infinite set is not empty.
Hypothesis
Ref Expression
infsdomnn.1 |- A e. V
Assertion
Ref Expression
infn0 |- (om ~<_ A -> A =/= (/))
Proof of Theorem infn0
StepHypRef Expression
1 peano1 3139 . . 3 |- (/) e. om
2 infsdomnn.1 . . . 4 |- A e. V
32infsdomnn 4511 . . 3 |- ((om ~<_ A /\ (/) e. om) -> (/) ~< A)
41, 3mpan2 694 . 2 |- (om ~<_ A -> (/) ~< A)
520sdom 4447 . 2 |- ((/) ~< A <-> A =/= (/))
64, 5sylib 198 1 |- (om ~<_ A -> A =/= (/))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 955   =/= wne 1577  Vcvv 1802  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  omcom 3121   ~<_ cdom 4349   ~< csdm 4350
This theorem is referenced by:  infxpidmlem10 7504  infxpidmlem11 7505  infxp 7515  alephmul 7525
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-er 4245  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353
Copyright terms: Public domain