HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem infxpidmlem10 7504
Description: Lemma for infxpidm 7507. A maximal bijection g in H is non-empty.
Hypotheses
Ref Expression
infxpidmlem.1 |- H = {f | (f = (/) \/ E.t((om ~<_ t /\ t (_ A) /\ f:(t X. t)-1-1-onto->t))}
infxpidmlem.2 |- A e. V
Assertion
Ref Expression
infxpidmlem10 |- (A.h e. H -. g (. h -> (om ~<_ A -> g =/= (/)))
Distinct variable groups:   f,g,h,t,A   g,H,h
Proof of Theorem infxpidmlem10
StepHypRef Expression
1 psseq1 2125 . . . . . . 7 |- (g = (/) -> (g (. v <-> (/) (. v))
2 0pss 2298 . . . . . . 7 |- ((/) (. v <-> v =/= (/))
31, 2syl6bb 534 . . . . . 6 |- (g = (/) -> (g (. v <-> v =/= (/)))
43necon2bbid 1615 . . . . 5 |- (g = (/) -> (v = (/) <-> -. g (. v))
5 psseq2 2126 . . . . . . 7 |- (h = v -> (g (. h <-> g (. v))
65negbid 609 . . . . . 6 |- (h = v -> (-. g (. h <-> -. g (. v))
76rcla4cva 1867 . . . . 5 |- ((A.h e. H -. g (. h /\ v e. H) -> -. g (. v)
84, 7syl5cbir 211 . . . 4 |- ((A.h e. H -. g (. h /\ v e. H) -> (g = (/) -> v = (/)))
98necon3d 1596 . . 3 |- ((A.h e. H -. g (. h /\ v e. H) -> (v =/= (/) -> g =/= (/)))
109r19.23adva 1739 . 2 |- (A.h e. H -. g (. h -> (E.v e. H v =/= (/) -> g =/= (/)))
11 infxpidmlem.1 . . . . . . . . . . 11 |- H = {f | (f = (/) \/ E.t((om ~<_ t /\ t (_ A) /\ f:(t X. t)-1-1-onto->t))}
12 visset 1804 . . . . . . . . . . 11 |- v e. V
13 visset 1804 . . . . . . . . . . 11 |- y e. V
1411, 12, 13infxpidmlem3 7497 . . . . . . . . . 10 |- (((om ~<_ y /\ y (_ A) /\ v:(y X. y)-1-1-onto->y) -> v e. H)
1514ex 373 . . . . . . . . 9 |- ((om ~<_ y /\ y (_ A) -> (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> v e. H))
16 f1ofo 3680 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> v:(y X. y)-onto->y)
17 forn 3659 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v:(y X. y)-onto->y -> ran v = y)
1816, 17syl 10 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> ran v = y)
19 rneq 3328 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v = (/) -> ran v = ran (/))
20 rn0 3341 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran (/) = (/)
2119, 20syl6eq 1515 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = (/) -> ran v = (/))
2218, 21sylan9req 1520 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((v:(y X. y)-1-1-onto->y /\ v = (/)) -> y = (/))
2322ex 373 . . . . . . . . . . . 12 |- (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> (v = (/) -> y = (/)))
2423necon3d 1596 . . . . . . . . . . 11 |- (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> (y =/= (/) -> v =/= (/)))
2513infn0 4512 . . . . . . . . . . 11 |- (om ~<_ y -> y =/= (/))
2624, 25syl5com 52 . . . . . . . . . 10 |- (om ~<_ y -> (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> v =/= (/)))
2726adantr 389 . . . . . . . . 9 |- ((om ~<_ y /\ y (_ A) -> (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> v =/= (/)))
2815, 27jcad 598 . . . . . . . 8 |- ((om ~<_ y /\ y (_ A) -> (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> (v e. H /\ v =/= (/))))
292819.22dv 1285 . . . . . . 7 |- ((om ~<_ y /\ y (_ A) -> (E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y -> E.v(v e. H /\ v =/= (/))))
3029imp 350 . . . . . 6 |- (((om ~<_ y /\ y (_ A) /\ E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y) -> E.v(v e. H /\ v =/= (/)))
3130an1rs 488 . . . . 5 |- (((om ~<_ y /\ E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y) /\ y (_ A) -> E.v(v e. H /\ v =/= (/)))
32 endom 4366 . . . . . 6 |- (om ~~ y -> om ~<_ y)
33 omex 4599 . . . . . . . . . . 11 |- om e. V
3433, 13, 33, 13xpen 4468 . . . . . . . . . 10 |- ((om ~~ y /\ om ~~ y) -> (om X. om) ~~ (y X. y))
3534anidms 434 . . . . . . . . 9 |- (om ~~ y -> (om X. om) ~~ (y X. y))
36 xpomen 7442 . . . . . . . . . 10 |- (om X. om) ~~ om
3713, 13xpex 3250 . . . . . . . . . . 11 |- (y X. y) e. V
38 enen1 4457 . . . . . . . . . . 11 |- (((y X. y) e. V /\ (om X. om) ~~ (y X. y)) -> ((om X. om) ~~ om <-> (y X. y) ~~ om))
3937, 38mpan 693 . . . . . . . . . 10 |- ((om X. om) ~~ (y X. y) -> ((om X. om) ~~ om <-> (y X. y) ~~ om))
4036, 39mpbii 193 . . . . . . . . 9 |- ((om X. om) ~~ (y X. y) -> (y X. y) ~~ om)
4135, 40syl 10 . . . . . . . 8 |- (om ~~ y -> (y X. y) ~~ om)
42 enen2 4458 . . . . . . . . 9 |- ((y e. V /\ om ~~ y) -> ((y X. y) ~~ om <-> (y X. y) ~~ y))
4313, 42mpan 693 . . . . . . . 8 |- (om ~~ y -> ((y X. y) ~~ om <-> (y X. y) ~~ y))
4441, 43mpbid 195 . . . . . . 7 |- (om ~~ y -> (y X. y) ~~ y)
4513bren 4359 . . . . . . 7 |- ((y X. y) ~~ y <-> E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y)
4644, 45sylib 198 . . . . . 6 |- (om ~~ y -> E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y)
4732, 46jca 288 . . . . 5 |- (om ~~ y -> (om ~<_ y /\ E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y))
4831, 47sylan 448 . . . 4 |- ((om ~~ y /\ y (_ A) -> E.v(v e. H /\ v =/= (/)))
494819.23aiv 1290 . . 3 |- (E.y(om ~~ y /\ y (_ A) -> E.v(v e. H /\ v =/= (/)))
50 infxpidmlem.2 . . . 4 |- A e. V
5150domen 4361 . . 3 |- (om ~<_ A <-> E.y(om ~~ y /\ y (_ A))
52 df-rex 1642 . . 3 |- (E.v e. H v =/= (/) <-> E.v(v e. H /\ v =/= (/)))
5349, 51, 523imtr4 219 . 2 |- (om ~<_ A -> E.v e. H v =/= (/))
5410, 53syl5 21 1 |- (A.h e. H -. g (. h -> (om ~<_ A -> g =/= (/)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  {cab 1456   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638  Vcvv 1802   (_ wss 2037   (. wpss 2038  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  omcom 3121   X. cxp 3158  ran crn 3161  -onto->wfo 3170  -1-1-onto->wf1o 3171   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349
This theorem is referenced by:  infxpidmlem12 7506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501
Copyright terms: Public domain