HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem isfinite 4606
Description: A set is strictly dominated by the class of natural numbers iff it is finite. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem provides two equivalent ways to express "A is finite." The Axiom of Infinity is used for the reverse implication.
Assertion
Ref Expression
isfinite |- (A ~< om <-> E.x e. om A ~~ x)
Distinct variable group:   x,A
Proof of Theorem isfinite
StepHypRef Expression
1 isfinite2 4523 . 2 |- (A ~< om -> E.x e. om A ~~ x)
2 isfinite1 4510 . . 3 |- (E.x e. om A ~~ x -> (A ~<_ om /\ -. om ~~ A))
3 omex 4599 . . . . . . 7 |- om e. V
43ensym 4393 . . . . . 6 |- (A ~~ om -> om ~~ A)
54con3i 98 . . . . 5 |- (-. om ~~ A -> -. A ~~ om)
65anim2i 335 . . . 4 |- ((A ~<_ om /\ -. om ~~ A) -> (A ~<_ om /\ -. A ~~ om))
7 brsdom 4363 . . . 4 |- (A ~< om <-> (A ~<_ om /\ -. A ~~ om))
86, 7sylibr 200 . . 3 |- ((A ~<_ om /\ -. om ~~ A) -> A ~< om)
92, 8syl 10 . 2 |- (E.x e. om A ~~ x -> A ~< om)
101, 9impbi 157 1 |- (A ~< om <-> E.x e. om A ~~ x)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   /\ wa 223  E.wrex 1638   class class class wbr 2609  omcom 3121   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349   ~< csdm 4350
This theorem is referenced by:  dominf 4876  fctop2 7593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-er 4245  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353
Copyright terms: Public domain