HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem ivthlem4 7219
Description: Lemma for isupivth 7225.
Hypotheses
Ref Expression
ivthlem4.1 |- A e. RR
ivthlem4.2 |- B e. RR
ivthlem4.3 |- U e. RR
ivthlem4.4 |- A < B
ivthlem4.5 |- ((F` A) < U /\ U < (F` B))
ivthlem4.6 |- C = sup(S, RR, < )
ivthlem4.7 |- S = {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U}
ivthlem4.8 |- F e. ((A[,]B)-cn->RR)
Assertion
Ref Expression
ivthlem4 |- ((S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x) /\ A e. S)
Distinct variable groups:   A,c,x,y   B,c,x,y   x,C,y   F,c,x,y   x,S,y   U,c,y
Proof of Theorem ivthlem4
StepHypRef Expression
1 ivthlem4.1 . . 3 |- A e. RR
2 ivthlem4.2 . . 3 |- B e. RR
3 ivthlem4.7 . . . . 5 |- S = {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U}
4 ssrab2 2121 . . . . 5 |- {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U} (_ (A[,]B)
53, 4eqsstr 2081 . . . 4 |- S (_ (A[,]B)
6 fveq2 3709 . . . . . . 7 |- (c = A -> (F` c) = (F` A))
76breq1d 2619 . . . . . 6 |- (c = A -> ((F` c) <_ U <-> (F` A) <_ U))
87, 3elrab2 1898 . . . . 5 |- (A e. S <-> (A e. (A[,]B) /\ (F` A) <_ U))
9 ivthlem4.4 . . . . . . 7 |- A < B
101, 2, 9ltlei 5554 . . . . . 6 |- A <_ B
11 lbicc2t 6337 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B) -> A e. (A[,]B))
121, 2, 10, 11mp3an 913 . . . . 5 |- A e. (A[,]B)
13 iccssret 6329 . . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A[,]B) (_ RR)
141, 2, 13mp2an 695 . . . . . . . . 9 |- (A[,]B) (_ RR
15 axresscn 5240 . . . . . . . . 9 |- RR (_ CC
1614, 15sstri 2063 . . . . . . . 8 |- (A[,]B) (_ CC
17 ivthlem4.8 . . . . . . . 8 |- F e. ((A[,]B)-cn->RR)
18 cncffvelrn 7203 . . . . . . . 8 |- (((A[,]B) (_ CC /\ RR (_ CC /\ F e. ((A[,]B)-cn->RR)) -> (A e. (A[,]B) -> (F` A) e. RR))
1916, 15, 17, 18mp3an 913 . . . . . . 7 |- (A e. (A[,]B) -> (F` A) e. RR)
2012, 19ax-mp 7 . . . . . 6 |- (F` A) e. RR
21 ivthlem4.3 . . . . . 6 |- U e. RR
22 ivthlem4.5 . . . . . . 7 |- ((F` A) < U /\ U < (F` B))
2322pm3.26i 320 . . . . . 6 |- (F` A) < U
2420, 21, 23ltlei 5554 . . . . 5 |- (F` A) <_ U
258, 12, 24mpbir2an 728 . . . 4 |- A e. S
26 iccsupr 6331 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ S (_ (A[,]B) /\ A e. S) -> (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x))
275, 25, 26mp3an23 905 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x))
281, 2, 27mp2an 695 . 2 |- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x)
2928, 25pm3.2i 285 1 |- ((S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x) /\ A e. S)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638  {crab 1640   (_ wss 2037  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  supcsup 4547  CCcc 5204  RRcr 5205   <_ cle 5267   < clt 5458  [,]cicc 6297  -cn->ccncf 7197
This theorem is referenced by:  ivthlem5 7220  ivthlem6 7221  ivthlem7 7222  ivthlem9 7224
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-enr 5138  df-nr 5139  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-lt 5219  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-icc 6301  df-cncf 7198
Copyright terms: Public domain