HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem leloet 5491
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than' or 'equals'.
Assertion
Ref Expression
leloet |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A <_ B <-> (A < B \/ A = B)))
Proof of Theorem leloet
StepHypRef Expression
1 lenltt 5482 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A <_ B <-> -. B < A))
2 axlttri 5475 . . . . 5 |- ((B e. RR /\ A e. RR) -> (B < A <-> -. (B = A \/ A < B)))
32ancoms 436 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (B < A <-> -. (B = A \/ A < B)))
43con2bid 524 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((B = A \/ A < B) <-> -. B < A))
5 eqcom 1469 . . . . 5 |- (B = A <-> A = B)
65orbi1i 256 . . . 4 |- ((B = A \/ A < B) <-> (A = B \/ A < B))
7 orcom 246 . . . 4 |- ((A = B \/ A < B) <-> (A < B \/ A = B))
86, 7bitr 173 . . 3 |- ((B = A \/ A < B) <-> (A < B \/ A = B))
94, 8syl5rbbr 533 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (-. B < A <-> (A < B \/ A = B)))
101, 9bitrd 526 1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A <_ B <-> (A < B \/ A = B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  RRcr 5205   <_ cle 5267   < clt 5458
This theorem is referenced by:  ltlet 5493  leltnet 5494  ltlent 5495  lelttrt 5496  ltletrt 5497  letrt 5498  leidt 5504  leloe 5548  lemul1t 5788  lemul1it 5793  lemul1itOLD 5794  lerec 5828  squeeze0 5872  nnleltp1t 5901  nnsub 5903  sup3 5999  elnn0z 6094  nn0subt 6108  elnn0nn 6118  monoord 6231  om2uzlt 6235  om2uzlt2 6236  snunioolem 6347  expge0t 6522  expge1t 6524  expwordit 6534  expword2it 6536  exple1t 6538  sqlecant 6572  sqrlem6 6608  sqrlem12 6614  sqrge0 6632  seq1bnd 6847  cau2 6850  facdivt 6879  facwordit 6881  bccl2t 6909  fsumcmpndx2 6980  expcnvlem6 7167  reeff1o 7368  metxptval 7770  bcthlem16 7948  bcthlem18 7950  bcthlem20 7952  hiidge0t 8885  lnopcon 9878  lnfncon 9905  hmopidmchlem 9989  stadd 10083  stadd3 10085  iintlem1 10476
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-enr 5138  df-nr 5139  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-lt 5219  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463
Copyright terms: Public domain