HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem lemul12itOLD 5799
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers.
Assertion
Ref Expression
lemul12itOLD |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 <_ C /\ C <_ D))) -> (A x. C) <_ (B x. D))
Proof of Theorem lemul12itOLD
StepHypRef Expression
1 axmulrcl 5246 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ C e. RR) -> (A x. C) e. RR)
21ad2ant2r 409 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (A x. C) e. RR)
32adantr 389 . . 3 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D))) -> (A x. C) e. RR)
4 axmulrcl 5246 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ D e. RR) -> (A x. D) e. RR)
54ad2ant2rl 411 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (A x. D) e. RR)
65adantr 389 . . 3 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D))) -> (A x. D) e. RR)
7 axmulrcl 5246 . . . . 5 |- ((B e. RR /\ D e. RR) -> (B x. D) e. RR)
87ad2ant2l 408 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (B x. D) e. RR)
98adantr 389 . . 3 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D))) -> (B x. D) e. RR)
10 lemul2itOLD 5796 . . . . . . . . 9 |- (((C e. RR /\ D e. RR /\ A e. RR) /\ (0 <_ A /\ C <_ D)) -> (A x. C) <_ (A x. D))
1110ex 373 . . . . . . . 8 |- ((C e. RR /\ D e. RR /\ A e. RR) -> ((0 <_ A /\ C <_ D) -> (A x. C) <_ (A x. D)))
12113expa 831 . . . . . . 7 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ A e. RR) -> ((0 <_ A /\ C <_ D) -> (A x. C) <_ (A x. D)))
1312ancoms 436 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> ((0 <_ A /\ C <_ D) -> (A x. C) <_ (A x. D)))
14 pm3.26 319 . . . . . 6 |- ((0 <_ A /\ A <_ B) -> 0 <_ A)
15 pm3.27 323 . . . . . 6 |- ((0 <_ C /\ C <_ D) -> C <_ D)
1613, 14, 15syl2ani 466 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D)) -> (A x. C) <_ (A x. D)))
1716adantlr 393 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D)) -> (A x. C) <_ (A x. D)))
1817imp 350 . . 3 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D))) -> (A x. C) <_ (A x. D))
19 pm3.27 323 . . . . . . 7 |- ((0 <_ A /\ A <_ B) -> A <_ B)
2019a1i 8 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 <_ A /\ A <_ B) -> A <_ B))
21 0re 5412 . . . . . . 7 |- 0 e. RR
22 letrt 5498 . . . . . . 7 |- ((0 e. RR /\ C e. RR /\ D e. RR) -> ((0 <_ C /\ C <_ D) -> 0 <_ D))
2321, 22mp3an1 900 . . . . . 6 |- ((C e. RR /\ D e. RR) -> ((0 <_ C /\ C <_ D) -> 0 <_ D))
2420, 23im2anan9 561 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D)) -> (A <_ B /\ 0 <_ D)))
25 lemul1itOLD 5794 . . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ D e. RR) /\ (0 <_ D /\ A <_ B)) -> (A x. D) <_ (B x. D))
2625ex 373 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ D e. RR) -> ((0 <_ D /\ A <_ B) -> (A x. D) <_ (B x. D)))
2726ancomsd 437 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ D e. RR) -> ((A <_ B /\ 0 <_ D) -> (A x. D) <_ (B x. D)))
28273expa 831 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ D e. RR) -> ((A <_ B /\ 0 <_ D) -> (A x. D) <_ (B x. D)))
2928adantrl 394 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> ((A <_ B /\ 0 <_ D) -> (A x. D) <_ (B x. D)))
3024, 29syld 27 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D)) -> (A x. D) <_ (B x. D)))
3130imp 350 . . 3 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D))) -> (A x. D) <_ (B x. D))
323, 6, 9, 18, 31letrd 5499 . 2 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D))) -> (A x. C) <_ (B x. D))
3332an4s 507 1 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 <_ C /\ C <_ D))) -> (A x. C) <_ (B x. D))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   e. wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206   x. cmul 5211   <_ cle 5267
This theorem is referenced by:  lemulge11t 5804  lediv12it 5844  expmwordit 6537  faclbnd 6882  faclbnd4lem1 6885  faclbnd6 6891  fsumabs2mul 6982  efaddlem11 7290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463
Copyright terms: Public domain