HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem lemulge11t 5804
Description: Multiplication by a number greater than or equal to 1.
Assertion
Ref Expression
lemulge11t |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ 1 <_ B)) -> A <_ (A x. B))
Proof of Theorem lemulge11t
StepHypRef Expression
1 recnt 5285 . . . 4 |- (A e. RR -> A e. CC)
2 ax1id 5254 . . . 4 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)
31, 2syl 10 . . 3 |- (A e. RR -> (A x. 1) = A)
43ad2antrr 404 . 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ 1 <_ B)) -> (A x. 1) = A)
5 lemul12itOLD 5799 . . 3 |- ((((A e. RR /\ A e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ A)) /\ ((1 e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ 1 /\ 1 <_ B))) -> (A x. 1) <_ (A x. B))
6 pm3.2 283 . . . . 5 |- (A e. RR -> (A e. RR -> (A e. RR /\ A e. RR)))
76pm2.43i 64 . . . 4 |- (A e. RR -> (A e. RR /\ A e. RR))
87ad2antrr 404 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ 1 <_ B)) -> (A e. RR /\ A e. RR))
9 simprl 414 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ 1 <_ B)) -> 0 <_ A)
10 leidt 5504 . . . . 5 |- (A e. RR -> A <_ A)
1110ad2antrr 404 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ 1 <_ B)) -> A <_ A)
129, 11jca 288 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ 1 <_ B)) -> (0 <_ A /\ A <_ A))
13 simplr 413 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ 1 <_ B)) -> B e. RR)
14 1re 5407 . . . 4 |- 1 e. RR
1513, 14jctil 292 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ 1 <_ B)) -> (1 e. RR /\ B e. RR))
16 simprr 415 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ 1 <_ B)) -> 1 <_ B)
17 0re 5412 . . . . 5 |- 0 e. RR
18 lt01 5653 . . . . 5 |- 0 < 1
1917, 14, 18ltlei 5554 . . . 4 |- 0 <_ 1
2016, 19jctil 292 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ 1 <_ B)) -> (0 <_ 1 /\ 1 <_ B))
215, 8, 12, 15, 20syl2anc 472 . 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ 1 <_ B)) -> (A x. 1) <_ (A x. B))
224, 21eqbrtrrd 2627 1 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ 1 <_ B)) -> A <_ (A x. B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   x. cmul 5211   <_ cle 5267
This theorem is referenced by:  faclbnd 6882  eflegeolem1 7353
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463
Copyright terms: Public domain