HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem metsym 7755
Description: The distance function of a metric space is symmetric. Definition 14-1.1(c) of [Gleason] p. 223.
Hypothesis
Ref Expression
metf.1 |- X = dom dom D
Assertion
Ref Expression
metsym |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) = (BDA))
Proof of Theorem metsym
StepHypRef Expression
1 metf.1 . . . . . . 7 |- X = dom dom D
21mettri4 7753 . . . . . 6 |- (((D e. Met /\ A e. X) /\ (B e. X /\ B e. X)) -> (ADB) <_ ((BDA) + (BDB)))
32anabsan2 504 . . . . 5 |- (((D e. Met /\ A e. X) /\ B e. X) -> (ADB) <_ ((BDA) + (BDB)))
433impa 826 . . . 4 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) <_ ((BDA) + (BDB)))
51met0 7754 . . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ B e. X) -> (BDB) = 0)
653adant2 796 . . . . . 6 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (BDB) = 0)
76opreq2d 3961 . . . . 5 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((BDA) + (BDB)) = ((BDA) + 0))
81metcl 7750 . . . . . . . 8 |- ((D e. Met /\ B e. X /\ A e. X) -> (BDA) e. RR)
98recnd 5287 . . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ B e. X /\ A e. X) -> (BDA) e. CC)
10 ax0id 5253 . . . . . . 7 |- ((BDA) e. CC -> ((BDA) + 0) = (BDA))
119, 10syl 10 . . . . . 6 |- ((D e. Met /\ B e. X /\ A e. X) -> ((BDA) + 0) = (BDA))
12113com23 837 . . . . 5 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((BDA) + 0) = (BDA))
137, 12eqtrd 1499 . . . 4 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((BDA) + (BDB)) = (BDA))
144, 13breqtrd 2629 . . 3 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) <_ (BDA))
151mettri4 7753 . . . . . . 7 |- (((D e. Met /\ B e. X) /\ (A e. X /\ A e. X)) -> (BDA) <_ ((ADB) + (ADA)))
1615anabsan2 504 . . . . . 6 |- (((D e. Met /\ B e. X) /\ A e. X) -> (BDA) <_ ((ADB) + (ADA)))
17163impa 826 . . . . 5 |- ((D e. Met /\ B e. X /\ A e. X) -> (BDA) <_ ((ADB) + (ADA)))
18173com23 837 . . . 4 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (BDA) <_ ((ADB) + (ADA)))
191met0 7754 . . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ A e. X) -> (ADA) = 0)
20193adant3 797 . . . . . 6 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADA) = 0)
2120opreq2d 3961 . . . . 5 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((ADB) + (ADA)) = ((ADB) + 0))
221metcl 7750 . . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) e. RR)
2322recnd 5287 . . . . . 6 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) e. CC)
24 ax0id 5253 . . . . . 6 |- ((ADB) e. CC -> ((ADB) + 0) = (ADB))
2523, 24syl 10 . . . . 5 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((ADB) + 0) = (ADB))
2621, 25eqtrd 1499 . . . 4 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((ADB) + (ADA)) = (ADB))
2718, 26breqtrd 2629 . . 3 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (BDA) <_ (ADB))
2814, 27jca 288 . 2 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((ADB) <_ (BDA) /\ (BDA) <_ (ADB)))
29 letri3t 5490 . . 3 |- (((ADB) e. RR /\ (BDA) e. RR) -> ((ADB) = (BDA) <-> ((ADB) <_ (BDA) /\ (BDA) <_ (ADB))))
3083com23 837 . . 3 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (BDA) e. RR)
3129, 22, 30sylanc 471 . 2 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((ADB) = (BDA) <-> ((ADB) <_ (BDA) /\ (BDA) <_ (ADB))))
3228, 31mpbird 196 1 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) = (BDA))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  dom cdm 3160  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206   + caddc 5209   <_ cle 5267  Metcme 7728
This theorem is referenced by:  mettri 7756  mettriOLD 7757  mettri3 7758  mettri3OLD 7759  elbl3 7780  metcnp2 7827
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-c 5212  df-0 5213  df-r 5216  df-plus 5217  df-lt 5219  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-met 7732
Copyright terms: Public domain