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Theorem mulclsr 5165
Description: Closure of multiplication on signed reals.
Assertion
Ref Expression
mulclsr |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) e. R.)
Proof of Theorem mulclsr
StepHypRef Expression
1 df-nr 5139 . . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2 opreq1 3953 . . . 4 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = (A .R [<.z, w>.] ~R ))
32eleq1d 1532 . . 3 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> (([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R ) <-> (A .R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R )))
4 opreq2 3954 . . . 4 |- ([<.z, w>.] ~R = B -> (A .R [<.z, w>.] ~R ) = (A .R B))
54eleq1d 1532 . . 3 |- ([<.z, w>.] ~R = B -> ((A .R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R ) <-> (A .R B) e. ((P. X. P.)/. ~R )))
6 mulsrpr 5157 . . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R )
7 addclpr 5092 . . . . . . . 8 |- (((x .P. z) e. P. /\ (y .P. w) e. P.) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
8 mulclpr 5094 . . . . . . . 8 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x .P. z) e. P.)
9 mulclpr 5094 . . . . . . . 8 |- ((y e. P. /\ w e. P.) -> (y .P. w) e. P.)
107, 8, 9syl2an 454 . . . . . . 7 |- (((x e. P. /\ z e. P.) /\ (y e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
1110an4s 507 . . . . . 6 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
12 addclpr 5092 . . . . . . . 8 |- (((x .P. w) e. P. /\ (y .P. z) e. P.) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
13 mulclpr 5094 . . . . . . . 8 |- ((x e. P. /\ w e. P.) -> (x .P. w) e. P.)
14 mulclpr 5094 . . . . . . . 8 |- ((y e. P. /\ z e. P.) -> (y .P. z) e. P.)
1512, 13, 14syl2an 454 . . . . . . 7 |- (((x e. P. /\ w e. P.) /\ (y e. P. /\ z e. P.)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
1615an42s 508 . . . . . 6 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
1711, 16jca 288 . . . . 5 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> (((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.))
18 opelxpi 3207 . . . . 5 |- ((((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.) -> <.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>. e. (P. X. P.))
19 enrex 5150 . . . . . 6 |- ~R e. V
2019ecelqsi 4276 . . . . 5 |- (<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>. e. (P. X. P.) -> [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
2117, 18, 203syl 20 . . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
226, 21eqeltrd 1540 . . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R ))
231, 3, 5, 222ecoptocl 4288 . 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) e. ((P. X. P.)/. ~R ))
2423, 1syl6eleqr 1551 1 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) e. R.)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  <.cop 2401   X. cxp 3158  (class class class)co 3948  [cec 4243  /.cqs 4244  P.cnp 4957   +P. cpp 4959   .P. cmp 4960   ~R cer 4964  R.cnr 4965   .R cmr 4970
This theorem is referenced by:  dmmulsr 5167  negexsr 5183  sqgt0sr 5187  recexsr 5188  ssgt0sr 5189  supsrlem2 5198  mulresr 5229  axmulopr 5238  axmulrcl 5246  axmulass 5250  axdistr 5251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-mr 5141
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