HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem muleqaddt 5669
Description: Property of numbers whose product equals their sum. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12.
Assertion
Ref Expression
muleqaddt |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. B) = (A + B) <-> ((A - 1) x. (B - 1)) = 1))
Proof of Theorem muleqaddt
StepHypRef Expression
1 ax1cn 5241 . . . . 5 |- 1 e. CC
2 mulsubt 5449 . . . . . 6 |- (((A e. CC /\ 1 e. CC) /\ (B e. CC /\ 1 e. CC)) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) + (1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))))
31, 2mpanr2 708 . . . . 5 |- (((A e. CC /\ 1 e. CC) /\ B e. CC) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) + (1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))))
41, 3mpanl2 705 . . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) + (1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))))
51mulid1 5304 . . . . . . 7 |- (1 x. 1) = 1
65opreq2i 3957 . . . . . 6 |- ((A x. B) + (1 x. 1)) = ((A x. B) + 1)
76a1i 8 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. B) + (1 x. 1)) = ((A x. B) + 1))
8 ax1id 5254 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)
9 ax1id 5254 . . . . . 6 |- (B e. CC -> (B x. 1) = B)
108, 9opreqan12d 3964 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. 1) + (B x. 1)) = (A + B))
117, 10opreq12d 3963 . . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. B) + (1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))) = (((A x. B) + 1) - (A + B)))
12 addsubt 5356 . . . . . 6 |- (((A x. B) e. CC /\ 1 e. CC /\ (A + B) e. CC) -> (((A x. B) + 1) - (A + B)) = (((A x. B) - (A + B)) + 1))
131, 12mp3an2 901 . . . . 5 |- (((A x. B) e. CC /\ (A + B) e. CC) -> (((A x. B) + 1) - (A + B)) = (((A x. B) - (A + B)) + 1))
14 axmulcl 5245 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) e. CC)
15 axaddcl 5243 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + B) e. CC)
1613, 14, 15sylanc 471 . . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. B) + 1) - (A + B)) = (((A x. B) - (A + B)) + 1))
174, 11, 163eqtrd 1503 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) - (A + B)) + 1))
1817eqeq1d 1475 . 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A - 1) x. (B - 1)) = 1 <-> (((A x. B) - (A + B)) + 1) = 1))
19 subclt 5339 . . . . 5 |- (((A x. B) e. CC /\ (A + B) e. CC) -> ((A x. B) - (A + B)) e. CC)
2019, 14, 15sylanc 471 . . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. B) - (A + B)) e. CC)
21 0cn 5300 . . . . 5 |- 0 e. CC
22 addcan2t 5325 . . . . 5 |- ((((A x. B) - (A + B)) e. CC /\ 0 e. CC /\ 1 e. CC) -> ((((A x. B) - (A + B)) + 1) = (0 + 1) <-> ((A x. B) - (A + B)) = 0))
2321, 1, 22mp3an23 905 . . . 4 |- (((A x. B) - (A + B)) e. CC -> ((((A x. B) - (A + B)) + 1) = (0 + 1) <-> ((A x. B) - (A + B)) = 0))
2420, 23syl 10 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((((A x. B) - (A + B)) + 1) = (0 + 1) <-> ((A x. B) - (A + B)) = 0))
251addid2 5303 . . . 4 |- (0 + 1) = 1
2625eqeq2i 1477 . . 3 |- ((((A x. B) - (A + B)) + 1) = (0 + 1) <-> (((A x. B) - (A + B)) + 1) = 1)
2724, 26syl5rbbr 533 . 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. B) - (A + B)) = 0 <-> (((A x. B) - (A + B)) + 1) = 1))
28 subeq0t 5375 . . 3 |- (((A x. B) e. CC /\ (A + B) e. CC) -> (((A x. B) - (A + B)) = 0 <-> (A x. B) = (A + B)))
2928, 14, 15sylanc 471 . 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. B) - (A + B)) = 0 <-> (A x. B) = (A + B)))
3018, 27, 293bitr2rd 545 1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. B) = (A + B) <-> ((A - 1) x. (B - 1)) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264
This theorem is referenced by:  conjmult 5753
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330
Copyright terms: Public domain