HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem mulgt1t 5801
Description: The product of two numbers greater than 1 is greater than 1.
Assertion
Ref Expression
mulgt1t |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (1 < A /\ 1 < B)) -> 1 < (A x. B))
Proof of Theorem mulgt1t
StepHypRef Expression
1 pm3.26 319 . . . . 5 |- ((1 < A /\ 1 < B) -> 1 < A)
21a1i 8 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((1 < A /\ 1 < B) -> 1 < A))
3 lt01 5653 . . . . . . . . 9 |- 0 < 1
4 0re 5412 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
5 1re 5407 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
6 axlttrn 5476 . . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR) -> ((0 < 1 /\ 1 < A) -> 0 < A))
74, 5, 6mp3an12 903 . . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> ((0 < 1 /\ 1 < A) -> 0 < A))
83, 7mpani 696 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (1 < A -> 0 < A))
98adantr 389 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (1 < A -> 0 < A))
10 ltmul2t 5787 . . . . . . . . . . 11 |- (((1 e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR) /\ 0 < A) -> (1 < B <-> (A x. 1) < (A x. B)))
1110biimpd 153 . . . . . . . . . 10 |- (((1 e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR) /\ 0 < A) -> (1 < B -> (A x. 1) < (A x. B)))
1211ex 373 . . . . . . . . 9 |- ((1 e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR) -> (0 < A -> (1 < B -> (A x. 1) < (A x. B))))
135, 12mp3an1 900 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ A e. RR) -> (0 < A -> (1 < B -> (A x. 1) < (A x. B))))
1413ancoms 436 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (0 < A -> (1 < B -> (A x. 1) < (A x. B))))
159, 14syld 27 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (1 < A -> (1 < B -> (A x. 1) < (A x. B))))
1615imp3a 361 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((1 < A /\ 1 < B) -> (A x. 1) < (A x. B)))
17 recnt 5285 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
18 ax1id 5254 . . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)
1917, 18syl 10 . . . . . . 7 |- (A e. RR -> (A x. 1) = A)
2019adantr 389 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. 1) = A)
2120breq1d 2619 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A x. 1) < (A x. B) <-> A < (A x. B)))
2216, 21sylibd 202 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((1 < A /\ 1 < B) -> A < (A x. B)))
232, 22jcad 598 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((1 < A /\ 1 < B) -> (1 < A /\ A < (A x. B))))
24 axmulrcl 5246 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. B) e. RR)
25 axlttrn 5476 . . . . 5 |- ((1 e. RR /\ A e. RR /\ (A x. B) e. RR) -> ((1 < A /\ A < (A x. B)) -> 1 < (A x. B)))
265, 25mp3an1 900 . . . 4 |- ((A e. RR /\ (A x. B) e. RR) -> ((1 < A /\ A < (A x. B)) -> 1 < (A x. B)))
2724, 26syldan 467 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((1 < A /\ A < (A x. B)) -> 1 < (A x. B)))
2823, 27syld 27 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((1 < A /\ 1 < B) -> 1 < (A x. B)))
2928imp 350 1 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (1 < A /\ 1 < B)) -> 1 < (A x. B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   x. cmul 5211   < clt 5458
This theorem is referenced by:  expgt1t 6523
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463
Copyright terms: Public domain