HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem mulsubt 5449
Description: Product of two differences.
Assertion
Ref Expression
mulsubt |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ (C e. CC /\ D e. CC)) -> ((A - B) x. (C - D)) = (((A x. C) + (D x. B)) - ((A x. D) + (C x. B))))
Proof of Theorem mulsubt
StepHypRef Expression
1 negsubt 5354 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + -uB) = (A - B))
2 negsubt 5354 . . 3 |- ((C e. CC /\ D e. CC) -> (C + -uD) = (C - D))
31, 2opreqan12d 3964 . 2 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ (C e. CC /\ D e. CC)) -> ((A + -uB) x. (C + -uD)) = ((A - B) x. (C - D)))
4 muladdt 5393 . . . . 5 |- (((A e. CC /\ -uB e. CC) /\ (C e. CC /\ -uD e. CC)) -> ((A + -uB) x. (C + -uD)) = (((A x. C) + (-uD x. -uB)) + ((A x. -uD) + (C x. -uB))))
5 negclt 5340 . . . . 5 |- (D e. CC -> -uD e. CC)
64, 5sylanr2 463 . . . 4 |- (((A e. CC /\ -uB e. CC) /\ (C e. CC /\ D e. CC)) -> ((A + -uB) x. (C + -uD)) = (((A x. C) + (-uD x. -uB)) + ((A x. -uD) + (C x. -uB))))
7 negclt 5340 . . . 4 |- (B e. CC -> -uB e. CC)
86, 7sylanl2 461 . . 3 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ (C e. CC /\ D e. CC)) -> ((A + -uB) x. (C + -uD)) = (((A x. C) + (-uD x. -uB)) + ((A x. -uD) + (C x. -uB))))
9 mul2negt 5426 . . . . . . 7 |- ((D e. CC /\ B e. CC) -> (-uD x. -uB) = (D x. B))
109ancoms 436 . . . . . 6 |- ((B e. CC /\ D e. CC) -> (-uD x. -uB) = (D x. B))
1110opreq2d 3961 . . . . 5 |- ((B e. CC /\ D e. CC) -> ((A x. C) + (-uD x. -uB)) = ((A x. C) + (D x. B)))
1211ad2ant2l 408 . . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ (C e. CC /\ D e. CC)) -> ((A x. C) + (-uD x. -uB)) = ((A x. C) + (D x. B)))
13 mulneg2t 5424 . . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ D e. CC) -> (A x. -uD) = -u(A x. D))
14 mulneg2t 5424 . . . . . . . 8 |- ((C e. CC /\ B e. CC) -> (C x. -uB) = -u(C x. B))
1513, 14opreqan12d 3964 . . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ D e. CC) /\ (C e. CC /\ B e. CC)) -> ((A x. -uD) + (C x. -uB)) = (-u(A x. D) + -u(C x. B)))
16 negdit 5427 . . . . . . . 8 |- (((A x. D) e. CC /\ (C x. B) e. CC) -> -u((A x. D) + (C x. B)) = (-u(A x. D) + -u(C x. B)))
17 axmulcl 5245 . . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ D e. CC) -> (A x. D) e. CC)
18 axmulcl 5245 . . . . . . . 8 |- ((C e. CC /\ B e. CC) -> (C x. B) e. CC)
1916, 17, 18syl2an 454 . . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ D e. CC) /\ (C e. CC /\ B e. CC)) -> -u((A x. D) + (C x. B)) = (-u(A x. D) + -u(C x. B)))
2015, 19eqtr4d 1502 . . . . . 6 |- (((A e. CC /\ D e. CC) /\ (C e. CC /\ B e. CC)) -> ((A x. -uD) + (C x. -uB)) = -u((A x. D) + (C x. B)))
2120ancom2s 486 . . . . 5 |- (((A e. CC /\ D e. CC) /\ (B e. CC /\ C e. CC)) -> ((A x. -uD) + (C x. -uB)) = -u((A x. D) + (C x. B)))
2221an42s 508 . . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ (C e. CC /\ D e. CC)) -> ((A x. -uD) + (C x. -uB)) = -u((A x. D) + (C x. B)))
2312, 22opreq12d 3963 . . 3 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ (C e. CC /\ D e. CC)) -> (((A x. C) + (-uD x. -uB)) + ((A x. -uD) + (C x. -uB))) = (((A x. C) + (D x. B)) + -u((A x. D) + (C x. B))))
24 negsubt 5354 . . . 4 |- ((((A x. C) + (D x. B)) e. CC /\ ((A x. D) + (C x. B)) e. CC) -> (((A x. C) + (D x. B)) + -u((A x. D) + (C x. B))) = (((A x. C) + (D x. B)) - ((A x. D) + (C x. B))))
25 axaddcl 5243 . . . . . 6 |- (((A x. C) e. CC /\ (D x. B) e. CC) -> ((A x. C) + (D x. B)) e. CC)
26 axmulcl 5245 . . . . . 6 |- ((A e. CC /\ C e. CC) -> (A x. C) e. CC)
27 axmulcl 5245 . . . . . . 7 |- ((D e. CC /\ B e. CC) -> (D x. B) e. CC)
2827ancoms 436 . . . . . 6 |- ((B e. CC /\ D e. CC) -> (D x. B) e. CC)
2925, 26, 28syl2an 454 . . . . 5 |- (((A e. CC /\ C e. CC) /\ (B e. CC /\ D e. CC)) -> ((A x. C) + (D x. B)) e. CC)
3029an4s 507 . . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ (C e. CC /\ D e. CC)) -> ((A x. C) + (D x. B)) e. CC)
31 axaddcl 5243 . . . . . 6 |- (((A x. D) e. CC /\ (C x. B) e. CC) -> ((A x. D) + (C x. B)) e. CC)
3218ancoms 436 . . . . . 6 |- ((B e. CC /\ C e. CC) -> (C x. B) e. CC)
3331, 17, 32syl2an 454 . . . . 5 |- (((A e. CC /\ D e. CC) /\ (B e. CC /\ C e. CC)) -> ((A x. D) + (C x. B)) e. CC)
3433an42s 508 . . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ (C e. CC /\ D e. CC)) -> ((A x. D) + (C x. B)) e. CC)
3524, 30, 34sylanc 471 . . 3 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ (C e. CC /\ D e. CC)) -> (((A x. C) + (D x. B)) + -u((A x. D) + (C x. B))) = (((A x. C) + (D x. B)) - ((A x. D) + (C x. B))))
368, 23, 353eqtrd 1503 . 2 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ (C e. CC /\ D e. CC)) -> ((A + -uB) x. (C + -uD)) = (((A x. C) + (D x. B)) - ((A x. D) + (C x. B))))
373, 36eqtr3d 1501 1 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ (C e. CC /\ D e. CC)) -> ((A - B) x. (C - D)) = (((A x. C) + (D x. B)) - ((A x. D) + (C x. B))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  (class class class)co 3948  CCcc 5204   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264  -ucneg 5265
This theorem is referenced by:  muleqaddt 5669  sqabssubt 6784  sinadd 7393  cosadd 7394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330
Copyright terms: Public domain