HomeHome Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem nlfnvalt 9725
Description: Value of the null space of a Hilbert space functional.
Assertion
Ref Expression
nlfnvalt |- (T:H~-->CC -> (null` T) = {x e. H~ | (T` x) = 0})
Distinct variable group:   x,T
Proof of Theorem nlfnvalt
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 8790 . . 3 |- H~ e. V
21rabex 2715 . 2 |- {x e. H~ | (T` x) = 0} e. V
3 axcnex 5239 . 2 |- CC e. V
4 fveq1 3708 . . . 4 |- (t = T -> (t` x) = (T` x))
54eqeq1d 1475 . . 3 |- (t = T -> ((t` x) = 0 <-> (T` x) = 0))
65rabbisdv 1798 . 2 |- (t = T -> {x e. H~ | (t` x) = 0} = {x e. H~ | (T` x) = 0})
7 df-nlfn 9689 . 2 |- null = {<.t, y>. | (t:H~-->CC /\ y = {x e. H~ | (t` x) = 0})}
82, 1, 3, 6, 7fvopabf4 4324 1 |- (T:H~-->CC -> (null` T) = {x e. H~ | (T` x) = 0})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 953  {crab 1640  -->wf 3168  ` cfv 3172  CCcc 5204  0cc0 5206  H~chil 8727  nullcnl 8760
This theorem is referenced by:  elnlfnt 9768  elnlfn2t 9769  nlelsh 9908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-qs 4250  df-map 4308  df-ni 4972  df-nq 5010  df-np 5058  df-nr 5139  df-c 5212  df-nlfn 9689
Copyright terms: Public domain