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Theorem nmopub2tALT 9750
Description: An upper bound for an operator norm.
Assertion
Ref Expression
nmopub2tALT |- ((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. H~ (normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> (normop` T) <_ A)
Distinct variable groups:   x,A   x,T
Proof of Theorem nmopub2tALT
StepHypRef Expression
1 1re 5407 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
2 lemul2itOLD 5796 . . . . . . . . . . 11 |- ((((normh` x) e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR) /\ (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1)) -> (A x. (normh` x)) <_ (A x. 1))
31, 2mp3anl2 908 . . . . . . . . . 10 |- ((((normh` x) e. RR /\ A e. RR) /\ (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1)) -> (A x. (normh` x)) <_ (A x. 1))
4 normclt 8912 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. H~ -> (normh` x) e. RR)
54anim1i 334 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. H~ /\ A e. RR) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
65ancoms 436 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ x e. H~) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
76adantlr 393 . . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ x e. H~) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
87adantll 392 . . . . . . . . . . 11 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
98adantr 389 . . . . . . . . . 10 |- ((((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
10 id 59 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1))
1110adantll 392 . . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1))
1211adantll 392 . . . . . . . . . . 11 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1))
1312adantlr 393 . . . . . . . . . 10 |- ((((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1))
143, 9, 13sylanc 471 . . . . . . . . 9 |- ((((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A x. (normh` x)) <_ (A x. 1))
15 recnt 5285 . . . . . . . . . . . 12 |- (A e. RR -> A e. CC)
16 ax1id 5254 . . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)
1715, 16syl 10 . . . . . . . . . . 11 |- (A e. RR -> (A x. 1) = A)
1817ad2antrl 406 . . . . . . . . . 10 |- ((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (A x. 1) = A)
1918ad2antrr 404 . . . . . . . . 9 |- ((((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A x. 1) = A)
2014, 19breqtrd 2629 . . . . . . . 8 |- ((((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A x. (normh` x)) <_ A)
21 letrt 5498 . . . . . . . . . 10 |- (((normh` (T` x)) e. RR /\ (A x. (normh` x)) e. RR /\ A e. RR) -> (((normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) /\ (A x. (normh` x)) <_ A) -> (normh` (T` x)) <_ A))
22 ffvelrn 3799 . . . . . . . . . . . 12 |- ((T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (T` x) e. H~)
23 normclt 8912 . . . . . . . . . . . 12 |- ((T` x) e. H~ -> (normh` (T` x)) e. RR)
2422, 23syl 10 . . . . . . . . . . 11 |- ((T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (normh` (T` x)) e. RR)
2524adantlr 393 . . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> (normh` (T` x)) e. RR)
26 axmulrcl 5246 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ (normh` x) e. RR) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
2726, 4sylan2 451 . . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ x e. H~) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
2827adantlr 393 . . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ x e. H~) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
2928adantll 392 . . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
30 pm3.26 319 . . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. RR)
3130ad2antlr 405 . . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> A e. RR)
3221, 25, 29, 31syl3anc 856 . . . . . . . . 9 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> (((normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) /\ (A x. (normh` x)) <_ A) -> (normh` (T` x)) <_ A))
3332adantr 389 . . . . . . . 8 |- ((((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (((normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) /\ (A x. (normh` x)) <_ A) -> (normh` (T` x)) <_ A))
3420, 33mpan2d 700 . . . . . . 7 |- ((((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> (normh` (T` x)) <_ A))
3534ex 373 . . . . . 6 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> ((normh` x) <_ 1 -> ((normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> (normh` (T` x)) <_ A)))
3635com23 32 . . . . 5 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> ((normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ A)))
3736r19.20dva 1701 . . . 4 |- ((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (A.x e. H~ (normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ A)))
3837imp 350 . . 3 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ A.x e. H~ (normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ A))
39 nmopubt 9749 . . . . 5 |- ((T:H~-->H~ /\ A e. RR* /\ A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ A)) -> (normop` T) <_ A)
40 rexrt 5471 . . . . . 6 |- (A e. RR -> A e. RR*)
4140adantr 389 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. RR*)
4239, 41syl3an2 858 . . . 4 |- ((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ A)) -> (normop` T) <_ A)
43423expa 831 . . 3 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ A)) -> (normop` T) <_ A)
4438, 43syldan 467 . 2 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ A.x e. H~ (normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> (normop` T) <_ A)
45443impa 826 1 |- ((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. H~ (normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> (normop` T) <_ A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637   class class class wbr 2609  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   x. cmul 5211   <_ cle 5267  RR*cxr 5457  H~chil 8727  normhcno 8733  normopcnop 8753
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op