HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem numthcor 4758
Description: Any set is strictly dominated by some ordinal.
Assertion
Ref Expression
numthcor |- (A e. B -> E.x e. On A ~< x)
Distinct variable group:   x,A
Proof of Theorem numthcor
StepHypRef Expression
1 breq1 2612 . . 3 |- (y = A -> (y ~< x <-> A ~< x))
21rexbidv 1656 . 2 |- (y = A -> (E.x e. On y ~< x <-> E.x e. On A ~< x))
3 numth2 4757 . . 3 |- E.x e. On x ~~ P~y
4 visset 1804 . . . . . . 7 |- y e. V
54pwex 2735 . . . . . 6 |- P~y e. V
65ensym 4393 . . . . 5 |- (x ~~ P~y -> P~y ~~ x)
74canth2 4464 . . . . . 6 |- y ~< P~y
8 visset 1804 . . . . . . 7 |- x e. V
9 sdomentr 4450 . . . . . . 7 |- (x e. V -> ((y ~< P~y /\ P~y ~~ x) -> y ~< x))
108, 9ax-mp 7 . . . . . 6 |- ((y ~< P~y /\ P~y ~~ x) -> y ~< x)
117, 10mpan 693 . . . . 5 |- (P~y ~~ x -> y ~< x)
126, 11syl 10 . . . 4 |- (x ~~ P~y -> y ~< x)
1312r19.22si 1726 . . 3 |- (E.x e. On x ~~ P~y -> E.x e. On y ~< x)
143, 13ax-mp 7 . 2 |- E.x e. On y ~< x
152, 14vtoclg 1838 1 |- (A e. B -> E.x e. On A ~< x)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638  Vcvv 1802  P~cpw 2391   class class class wbr 2609  Oncon0 2938   ~~ cen 4348   ~< csdm 4350
This theorem is referenced by:  cardmin 4832  alephsuc 4838  alephordlem1 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-ac 4716
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-er 4245  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353
Copyright terms: Public domain