HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem pilog 8690
Description: Relationship between pi and the natural logarithm function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)
Assertion
Ref Expression
pilog |- pi = (i x. (log` -u1))
Proof of Theorem pilog
StepHypRef Expression
1 axicn 5242 . . . . . . 7 |- i e. CC
2 pire 8596 . . . . . . . 8 |- pi e. RR
32recn 5286 . . . . . . 7 |- pi e. CC
41, 3mulcl 5293 . . . . . 6 |- (i x. pi) e. CC
5 1z 6106 . . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
6 znegclt 6110 . . . . . . 7 |- (1 e. ZZ -> -u1 e. ZZ)
75, 6ax-mp 7 . . . . . 6 |- -u1 e. ZZ
8 efper 8669 . . . . . 6 |- (((i x. pi) e. CC /\ -u1 e. ZZ) -> (exp` ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1))) = (exp` (i x. pi)))
94, 7, 8mp2an 695 . . . . 5 |- (exp` ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1))) = (exp` (i x. pi))
10 2cn 5927 . . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
1110, 3mulcl 5293 . . . . . . . . . 10 |- (2 x. pi) e. CC
121, 11mulcl 5293 . . . . . . . . 9 |- (i x. (2 x. pi)) e. CC
134, 12negsub 5353 . . . . . . . 8 |- ((i x. pi) + -u(i x. (2 x. pi))) = ((i x. pi) - (i x. (2 x. pi)))
14 zcnt 6087 . . . . . . . . . . . 12 |- (-u1 e. ZZ -> -u1 e. CC)
157, 14ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11 |- -u1 e. CC
1612, 15mulcom 5295 . . . . . . . . . 10 |- ((i x. (2 x. pi)) x. -u1) = (-u1 x. (i x. (2 x. pi)))
1712mulm1 5444 . . . . . . . . . 10 |- (-u1 x. (i x. (2 x. pi))) = -u(i x. (2 x. pi))
1816, 17eqtr 1487 . . . . . . . . 9 |- ((i x. (2 x. pi)) x. -u1) = -u(i x. (2 x. pi))
1918opreq2i 3957 . . . . . . . 8 |- ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1)) = ((i x. pi) + -u(i x. (2 x. pi)))
201, 3, 11subdi 5401 . . . . . . . 8 |- (i x. (pi - (2 x. pi))) = ((i x. pi) - (i x. (2 x. pi)))
2113, 19, 203eqtr4 1497 . . . . . . 7 |- ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1)) = (i x. (pi - (2 x. pi)))
2211, 3negsubdi2 5422 . . . . . . . . 9 |- -u((2 x. pi) - pi) = (pi - (2 x. pi))
2332times 5950 . . . . . . . . . . . 12 |- (2 x. pi) = (pi + pi)
2423eqcomi 1471 . . . . . . . . . . 11 |- (pi + pi) = (2 x. pi)
2511, 3, 3, 24subaddri 5344 . . . . . . . . . 10 |- ((2 x. pi) - pi) = pi
2625negeqi 5332 . . . . . . . . 9 |- -u((2 x. pi) - pi) = -upi
2722, 26eqtr3 1489 . . . . . . . 8 |- (pi - (2 x. pi)) = -upi
2827opreq2i 3957 . . . . . . 7 |- (i x. (pi - (2 x. pi))) = (i x. -upi)
291, 3mulneg2 5418 . . . . . . 7 |- (i x. -upi) = -u(i x. pi)
3021, 28, 293eqtr 1491 . . . . . 6 |- ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1)) = -u(i x. pi)
3130fveq2i 3712 . . . . 5 |- (exp` ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1))) = (exp` -u(i x. pi))
32 df-neg 5330 . . . . . 6 |- -u1 = (0 - 1)
33 eulerid 8602 . . . . . . 7 |- ((exp` (i x. pi)) + 1) = 0
34 0cn 5300 . . . . . . . 8 |- 0 e. CC
35 ax1cn 5241 . . . . . . . 8 |- 1 e. CC
36 efclt 7254 . . . . . . . . 9 |- ((i x. pi) e. CC -> (exp` (i x. pi)) e. CC)
374, 36ax-mp 7 . . . . . . . 8 |- (exp` (i x. pi)) e. CC
3834, 35, 37subadd2 5345 . . . . . . 7 |- ((0 - 1) = (exp` (i x. pi)) <-> ((exp` (i x. pi)) + 1) = 0)
3933, 38mpbir 190 . . . . . 6 |- (0 - 1) = (exp` (i x. pi))
4032, 39eqtr2 1488 . . . . 5 |- (exp` (i x. pi)) = -u1
419, 31, 403eqtr3 1495 . . . 4 |- (exp` -u(i x. pi)) = -u1
42 ax1ne0 5252 . . . . . 6 |- 1 =/= 0
4335, 42negn0 5764 . . . . 5 |- -u1 =/= 0
44 fveq2 3709 . . . . . . . . 9 |- (x = -u(i x. pi) -> (Im` x) = (Im` -u(i x. pi)))
4544eleq1d 1532 . . . . . . . 8 |- (x = -u(i x. pi) -> ((Im` x) e. (-upi[,)pi) <-> (Im` -u(i x. pi)) e. (-upi[,)pi)))
4645elrab 1896 . . . . . . 7 |- (-u(i x. pi) e. {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)} <-> (-u(i x. pi) e. CC /\ (Im` -u(i x. pi)) e. (-upi[,)pi)))
474negcl 5341 . . . . . . 7 |- -u(i x. pi) e. CC
484imneg 6731 . . . . . . . . 9 |- (Im` -u(i x. pi)) = -u(Im` (i x. pi))
494addid2 5303 . . . . . . . . . . . 12 |- (0 + (i x. pi)) = (i x. pi)
5049fveq2i 3712 . . . . . . . . . . 11 |- (Im` (0 + (i x. pi))) = (Im` (i x. pi))
51 0re 5412 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
5251, 2crim 6708 . . . . . . . . . . 11 |- (Im` (0 + (i x. pi))) = pi
5350, 52eqtr3 1489 . . . . . . . . . 10 |- (Im` (i x. pi)) = pi
5453negeqi 5332 . . . . . . . . 9 |- -u(Im` (i x. pi)) = -upi
5548, 54eqtr 1487 . . . . . . . 8 |- (Im` -u(i x. pi)) = -upi
562renegcl 5388 . . . . . . . . 9 |- -upi e. RR
5756leid 5584 . . . . . . . . 9 |- -upi <_ -upi
58 pipos 8597 . . . . . . . . . . 11 |- 0 < pi
59 lt0neg2t 5642 . . . . . . . . . . . 12 |- (pi e. RR -> (0 < pi <-> -upi < 0))
602, 59ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11 |- (0 < pi <-> -upi < 0)
6158, 60mpbi 189 . . . . . . . . . 10 |- -upi < 0
6256, 51, 2lttr 5559 . . . . . . . . . 10 |- ((-upi < 0 /\ 0 < pi) -> -upi < pi)
6361, 58, 62mp2an 695 . . . . . . . . 9 |- -upi < pi
64 elico2t 6323 . . . . . . . . . . 11 |- ((-upi e. RR /\ pi e. RR) -> (-upi e. (-upi[,)pi) <-> (-upi e. RR /\ -upi <_ -upi /\ -upi < pi)))
6556, 2, 64mp2an 695 . . . . . . . . . 10 |- (-upi e. (-upi[,)pi) <-> (-upi e. RR /\ -upi <_ -upi /\ -upi < pi))
6665biimpr 152 . . . . . . . . 9 |- ((-upi e. RR /\ -upi <_ -upi /\ -upi < pi) -> -upi e. (-upi[,)pi))
6756, 57, 63, 66mp3an 913 . . . . . . . 8 |- -upi e. (-upi[,)pi)
6855, 67eqeltr 1536 . . . . . . 7 |- (Im` -u(i x. pi)) e. (-upi[,)pi)
6946, 47, 68mpbir2an 728 . . . . . 6 |- -u(i x. pi) e. {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)}
70 logrn 8673 . . . . . 6 |- ran log = {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)}
7169, 70eleqtrr 1539 . . . . 5 |- -u(i x. pi) e. ran log
72 logeftb 8686 . . . . 5 |- ((-u1 e. CC /\ -u1 =/= 0 /\ -u(i x. pi) e. ran log) -> ((log` -u1) = -u(i x. pi) <-> (exp` -u(i x. pi)) = -u1))
7315, 43, 71, 72mp3an 913 . . . 4 |- ((log` -u1) = -u(i x. pi) <-> (exp` -u(i x. pi)) = -u1)
7441, 73mpbir 190 . . 3 |- (log` -u1) = -u(i x. pi)
7574opreq2i 3957 . 2 |- (i x. (log` -u1)) = (i x. -u(i x. pi))
761, 4mulneg2 5418 . . 3 |- (i x. -u(i x. pi)) = -u(i x. (i x. pi))
77 ixi 5654 . . . . . 6 |- (i x. i) = -u1
7877opreq1i 3956 . . . . 5 |- ((i x. i) x. pi) = (-u1 x. pi)
791, 1, 3mulass 5297 . . . . 5 |- ((i x. i) x. pi) = (i x. (i x. pi))
803mulm1 5444 . . . . 5 |- (-u1 x. pi) = -upi
8178, 79, 803eqtr3 1495 . . . 4 |- (i x. (i x. pi)) = -upi
8281negeqi 5332 . . 3 |- -u(i x. (i x. pi)) = -u-upi
833negneg 5362 . . 3 |- -u-upi = pi
8476, 82, 833eqtr 1491 . 2 |- (i x. -u(i x. pi)) = pi
8575, 84eqtr2 1488 1 |- pi = (i x. (log` -u1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   <-> wb 146   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  {crab 1640   class class class wbr 2609  ran crn 3161  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264  -ucneg 5265   <_ cle 5267  ZZcz 5270   < clt 5458  2c2 5908  [,)cico 6296  Imcim 6679  expce 7235  picpi 7239  logclog 8671
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-5 5920  df-6 5921  df-7 5922  df-8 5923  df-9 5924  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-q 6194  df-rp 6219  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-ioo 6298  df-ioc 6299  df-ico 6300  df-icc 6301  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac