HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem pre-axmulgt0 5262
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 24 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axmulgt0 5478.
Assertion
Ref Expression
pre-axmulgt0 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 <R A /\ 0 <R B) -> 0 <R (A x. B)))
Proof of Theorem pre-axmulgt0
StepHypRef Expression
1 elreal 5222 . 2 |- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
2 elreal 5222 . 2 |- (B e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = B))
3 breq2 2613 . . . 4 |- (<.x, 0R>. = A -> (0 <R <.x, 0R>. <-> 0 <R A))
43anbi1d 615 . . 3 |- (<.x, 0R>. = A -> ((0 <R <.x, 0R>. /\ 0 <R <.y, 0R>.) <-> (0 <R A /\ 0 <R <.y, 0R>.)))
5 opreq1 3953 . . . 4 |- (<.x, 0R>. = A -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) = (A x. <.y, 0R>.))
65breq2d 2620 . . 3 |- (<.x, 0R>. = A -> (0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) <-> 0 <R (A x. <.y, 0R>.)))
74, 6imbi12d 624 . 2 |- (<.x, 0R>. = A -> (((0 <R <.x, 0R>. /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.)) <-> ((0 <R A /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0 <R (A x. <.y, 0R>.))))
8 breq2 2613 . . . 4 |- (<.y, 0R>. = B -> (0 <R <.y, 0R>. <-> 0 <R B))
98anbi2d 614 . . 3 |- (<.y, 0R>. = B -> ((0 <R A /\ 0 <R <.y, 0R>.) <-> (0 <R A /\ 0 <R B)))
10 opreq2 3954 . . . 4 |- (<.y, 0R>. = B -> (A x. <.y, 0R>.) = (A x. B))
1110breq2d 2620 . . 3 |- (<.y, 0R>. = B -> (0 <R (A x. <.y, 0R>.) <-> 0 <R (A x. B)))
129, 11imbi12d 624 . 2 |- (<.y, 0R>. = B -> (((0 <R A /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0 <R (A x. <.y, 0R>.)) <-> ((0 <R A /\ 0 <R B) -> 0 <R (A x. B))))
13 df-0 5213 . . . . . 6 |- 0 = <.0R, 0R>.
1413a1i 8 . . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> 0 = <.0R, 0R>.)
15 visset 1804 . . . . . 6 |- y e. V
1615mulresr 5229 . . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) = <.(x .R y), 0R>.)
1714, 16breq12d 2621 . . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) <-> <.0R, 0R>. <R <.(x .R y), 0R>.))
18 0r 5161 . . . . . 6 |- 0R e. R.
1918elisseti 1809 . . . . 5 |- 0R e. V
20 oprex 3968 . . . . 5 |- (x .R y) e. V
2119, 20ltresr 5230 . . . 4 |- (<.0R, 0R>. <R <.(x .R y), 0R>. <-> 0R <R (x .R y))
2217, 21syl6bb 534 . . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) <-> 0R <R (x .R y)))
23 visset 1804 . . . . 5 |- x e. V
2423, 15mulgt0sr 5186 . . . 4 |- ((0R <R x /\ 0R <R y) -> 0R <R (x .R y))
2513breq1i 2616 . . . . 5 |- (0 <R <.x, 0R>. <-> <.0R, 0R>. <R <.x, 0R>.)
2619, 23ltresr 5230 . . . . 5 |- (<.0R, 0R>. <R <.x, 0R>. <-> 0R <R x)
2725, 26bitr 173 . . . 4 |- (0 <R <.x, 0R>. <-> 0R <R x)
2813breq1i 2616 . . . . 5 |- (0 <R <.y, 0R>. <-> <.0R, 0R>. <R <.y, 0R>.)
2919, 15ltresr 5230 . . . . 5 |- (<.0R, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> 0R <R y)
3028, 29bitr 173 . . . 4 |- (0 <R <.y, 0R>. <-> 0R <R y)
3124, 27, 30syl2anb 455 . . 3 |- ((0 <R <.x, 0R>. /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0R <R (x .R y))
3222, 31syl5bir 210 . 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> ((0 <R <.x, 0R>. /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.)))
331, 2, 7, 12, 322gencl 1820 1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 <R A /\ 0 <R B) -> 0 <R (A x. B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  <.cop 2401   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  R.cnr 4965  0Rc0r 4966   .R cmr 4970   <R cltr 4971  RRcr 5205  0cc0 5206   <R cltrr 5210   x. cmul 5211
This theorem is referenced by:  axmulgt0 5478
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-r 5216  df-mul 5218  df-lt 5219
Copyright terms: Public domain