HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem sdomnsym 4442
Description: Strict dominance is not symmetric. Theorem 21(ii) of [Suppes] p. 97.
Assertion
Ref Expression
sdomnsym |- (A ~< B -> -. B ~< A)
Proof of Theorem sdomnsym
StepHypRef Expression
1 sdomnen 4368 . 2 |- (A ~< B -> -. A ~~ B)
2 sbth 4437 . . . 4 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) -> A ~~ B)
3 sdomdom 4367 . . . 4 |- (A ~< B -> A ~<_ B)
4 sdomdom 4367 . . . 4 |- (B ~< A -> B ~<_ A)
52, 3, 4syl2an 454 . . 3 |- ((A ~< B /\ B ~< A) -> A ~~ B)
65ex 373 . 2 |- (A ~< B -> (B ~< A -> A ~~ B))
71, 6mtod 108 1 |- (A ~< B -> -. B ~< A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   class class class wbr 2609   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349   ~< csdm 4350
This theorem is referenced by:  domnsym 4443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353
Copyright terms: Public domain