HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem ser0cl1 6496
Description: The partial sums in an infinite 0-based series of complex terms are complex.
Hypothesis
Ref Expression
ser0cl.1 |- F:NN0-->CC
Assertion
Ref Expression
ser0cl1 |- (N e. NN0 -> (( + seq0 F)` N) e. CC)
Proof of Theorem ser0cl1
StepHypRef Expression
1 fveq2 3709 . . 3 |- (j = 0 -> (( + seq0 F)` j) = (( + seq0 F)` 0))
21eleq1d 1532 . 2 |- (j = 0 -> ((( + seq0 F)` j) e. CC <-> (( + seq0 F)` 0) e. CC))
3 fveq2 3709 . . 3 |- (j = k -> (( + seq0 F)` j) = (( + seq0 F)` k))
43eleq1d 1532 . 2 |- (j = k -> ((( + seq0 F)` j) e. CC <-> (( + seq0 F)` k) e. CC))
5 fveq2 3709 . . 3 |- (j = (k + 1) -> (( + seq0 F)` j) = (( + seq0 F)` (k + 1)))
65eleq1d 1532 . 2 |- (j = (k + 1) -> ((( + seq0 F)` j) e. CC <-> (( + seq0 F)` (k + 1)) e. CC))
7 fveq2 3709 . . 3 |- (j = N -> (( + seq0 F)` j) = (( + seq0 F)` N))
87eleq1d 1532 . 2 |- (j = N -> ((( + seq0 F)` j) e. CC <-> (( + seq0 F)` N) e. CC))
9 addex 5289 . . . 4 |- + e. V
10 ser0cl.1 . . . . 5 |- F:NN0-->CC
11 nn0ex 6052 . . . . 5 |- NN0 e. V
12 fex 3637 . . . . 5 |- ((F:NN0-->CC /\ NN0 e. V) -> F e. V)
1310, 11, 12mp2an 695 . . . 4 |- F e. V
149, 13seq00 6482 . . 3 |- (( + seq0 F)` 0) = (F` 0)
15 0nn0 6060 . . . 4 |- 0 e. NN0
1610ffvelrni 3800 . . . 4 |- (0 e. NN0 -> (F` 0) e. CC)
1715, 16ax-mp 7 . . 3 |- (F` 0) e. CC
1814, 17eqeltr 1536 . 2 |- (( + seq0 F)` 0) e. CC
199, 13seq0p1 6483 . . . . 5 |- (k e. NN0 -> (( + seq0 F)` (k + 1)) = ((( + seq0 F)` k) + (F` (k + 1))))
2019adantr 389 . . . 4 |- ((k e. NN0 /\ (( + seq0 F)` k) e. CC) -> (( + seq0 F)` (k + 1)) = ((( + seq0 F)` k) + (F` (k + 1))))
21 axaddcl 5243 . . . . . 6 |- (((( + seq0 F)` k) e. CC /\ (F` (k + 1)) e. CC) -> ((( + seq0 F)` k) + (F` (k + 1))) e. CC)
22 peano2nn0 6071 . . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (k + 1) e. NN0)
2310ffvelrni 3800 . . . . . . 7 |- ((k + 1) e. NN0 -> (F` (k + 1)) e. CC)
2422, 23syl 10 . . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (F` (k + 1)) e. CC)
2521, 24sylan2 451 . . . . 5 |- (((( + seq0 F)` k) e. CC /\ k e. NN0) -> ((( + seq0 F)` k) + (F` (k + 1))) e. CC)
2625ancoms 436 . . . 4 |- ((k e. NN0 /\ (( + seq0 F)` k) e. CC) -> ((( + seq0 F)` k) + (F` (k + 1))) e. CC)
2720, 26eqeltrd 1540 . . 3 |- ((k e. NN0 /\ (( + seq0 F)` k) e. CC) -> (( + seq0 F)` (k + 1)) e. CC)
2827ex 373 . 2 |- (k e. NN0 -> ((( + seq0 F)` k) e. CC -> (( + seq0 F)` (k + 1)) e. CC))
292, 4, 6, 8, 18, 28nn0ind 6160 1 |- (N e. NN0 -> (( + seq0 F)` N) e. CC)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209  NN0cn0 5269   seq0 cseq0 6464
This theorem is referenced by:  ser0f 6497  geoser 7169  efcj 7278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-seq0 6466
Copyright terms: Public domain