HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem sinclt 7373
Description: Closure of the sine function.
Assertion
Ref Expression
sinclt |- (A e. CC -> (sin` A) e. CC)
Proof of Theorem sinclt
StepHypRef Expression
1 sinvalt 7371 . 2 |- (A e. CC -> (sin` A) = (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))
2 axicn 5242 . . . . . 6 |- i e. CC
3 axmulcl 5245 . . . . . 6 |- ((i e. CC /\ A e. CC) -> (i x. A) e. CC)
42, 3mpan 693 . . . . 5 |- (A e. CC -> (i x. A) e. CC)
5 efclt 7254 . . . . 5 |- ((i x. A) e. CC -> (exp` (i x. A)) e. CC)
64, 5syl 10 . . . 4 |- (A e. CC -> (exp` (i x. A)) e. CC)
72negcl 5341 . . . . . 6 |- -ui e. CC
8 axmulcl 5245 . . . . . 6 |- ((-ui e. CC /\ A e. CC) -> (-ui x. A) e. CC)
97, 8mpan 693 . . . . 5 |- (A e. CC -> (-ui x. A) e. CC)
10 efclt 7254 . . . . 5 |- ((-ui x. A) e. CC -> (exp` (-ui x. A)) e. CC)
119, 10syl 10 . . . 4 |- (A e. CC -> (exp` (-ui x. A)) e. CC)
126, 11jca 288 . . 3 |- (A e. CC -> ((exp` (i x. A)) e. CC /\ (exp` (-ui x. A)) e. CC))
13 subclt 5339 . . 3 |- (((exp` (i x. A)) e. CC /\ (exp` (-ui x. A)) e. CC) -> ((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) e. CC)
14 2cn 5927 . . . . 5 |- 2 e. CC
1514, 2mulcl 5293 . . . 4 |- (2 x. i) e. CC
16 2ne0 5937 . . . . 5 |- 2 =/= 0
17 ine0 5406 . . . . 5 |- i =/= 0
1814, 2, 16, 17muln0 5668 . . . 4 |- (2 x. i) =/= 0
19 divclt 5681 . . . 4 |- ((((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) e. CC /\ (2 x. i) e. CC /\ (2 x. i) =/= 0) -> (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)) e. CC)
2015, 18, 19mp3an23 905 . . 3 |- (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) e. CC -> (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)) e. CC)
2112, 13, 203syl 20 . 2 |- (A e. CC -> (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)) e. CC)
221, 21eqeltrd 1540 1 |- (A e. CC -> (sin` A) e. CC)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 955   =/= wne 1577  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  ici 5208   x. cmul 5211   - cmin 5264  -ucneg 5265   / cdiv 5266  2c2 5908  expce 7235  sincsin 7237
This theorem is referenced by:  sinf 7382  sin0ALT 7387  efmivalt 7390  sinadd 7393  cosadd 7394  sinsubt 7397  cossubt 7398  addsint 7399  subsint 7400  addcost 7401  subcost 7402  sincossqt 7403  sin2tt 7404  cos2tt 7405  cos2tOLD 7406  demoivre 7426  sinhalfpilem 8598  sinperlem2 8606  sinper 8609  cosper 8610  sinmpi 8613  cosmpi 8614  efimpi 8615  sinhalfpip 8616  sinhalfpim 8617  coshalfpip 8618  coshalfpim 8619  sincos6thpi 8628  efifolem2 8638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac 6869  df-clim 6913  df-sum 6918  df-ef 7240  df-sin 7242
Copyright terms: Public domain