HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem sinhalfpip 8616
Description: The sine of pi / 2 plus a number. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sinhalfpip |- (A e. CC -> (sin` ((pi / 2) + A)) = (cos` A))
Proof of Theorem sinhalfpip
StepHypRef Expression
1 pire 8596 . . . . 5 |- pi e. RR
21recn 5286 . . . 4 |- pi e. CC
3 2cn 5927 . . . 4 |- 2 e. CC
4 2ne0 5937 . . . 4 |- 2 =/= 0
52, 3, 4divcl 5679 . . 3 |- (pi / 2) e. CC
6 sinaddt 7395 . . 3 |- (((pi / 2) e. CC /\ A e. CC) -> (sin` ((pi / 2) + A)) = (((sin` (pi / 2)) x. (cos` A)) + ((cos` (pi / 2)) x. (sin` A))))
75, 6mpan 693 . 2 |- (A e. CC -> (sin` ((pi / 2) + A)) = (((sin` (pi / 2)) x. (cos` A)) + ((cos` (pi / 2)) x. (sin` A))))
8 cosclt 7374 . . . . 5 |- (A e. CC -> (cos` A) e. CC)
9 mulid2t 5389 . . . . 5 |- ((cos` A) e. CC -> (1 x. (cos` A)) = (cos` A))
108, 9syl 10 . . . 4 |- (A e. CC -> (1 x. (cos` A)) = (cos` A))
11 sinhalfpi 8599 . . . . 5 |- (sin` (pi / 2)) = 1
1211opreq1i 3956 . . . 4 |- ((sin` (pi / 2)) x. (cos` A)) = (1 x. (cos` A))
1310, 12syl5eq 1511 . . 3 |- (A e. CC -> ((sin` (pi / 2)) x. (cos` A)) = (cos` A))
14 sinclt 7373 . . . . 5 |- (A e. CC -> (sin` A) e. CC)
15 mul02t 5416 . . . . 5 |- ((sin` A) e. CC -> (0 x. (sin` A)) = 0)
1614, 15syl 10 . . . 4 |- (A e. CC -> (0 x. (sin` A)) = 0)
17 coshalfpi 8600 . . . . 5 |- (cos` (pi / 2)) = 0
1817opreq1i 3956 . . . 4 |- ((cos` (pi / 2)) x. (sin` A)) = (0 x. (sin` A))
1916, 18syl5eq 1511 . . 3 |- (A e. CC -> ((cos` (pi / 2)) x. (sin` A)) = 0)
2013, 19opreq12d 3963 . 2 |- (A e. CC -> (((sin` (pi / 2)) x. (cos` A)) + ((cos` (pi / 2)) x. (sin` A))) = ((cos` A) + 0))
21 ax0id 5253 . . 3 |- ((cos` A) e. CC -> ((cos` A) + 0) = (cos` A))
228, 21syl 10 . 2 |- (A e. CC -> ((cos` A) + 0) = (cos` A))
237, 20, 223eqtrd 1503 1 |- (A e. CC -> (sin` ((pi / 2) + A)) = (cos` A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 953   e. wcel 955  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   / cdiv 5266  2c2 5908  sincsin 7237  cosccos 7238  picpi 7239
This theorem is referenced by:  sincosq2sgn 8622  sincosq3sgn 8623  sincosq4sgn 8624
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-5 5920  df-6 5921  df-7 5922  df-8 5923  df-9 5924  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-q 6194  df-rp 6219  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-ioo 6298  df-ioc 6299  df-ico 6300  df-icc 6301  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac 6869  df-bc 6894  df-clim 6913  df-sum 6918  df-cncf 7198  df-ef 7240  df-sin 7242  df-cos 7243  df-pi 7244  df-top 7534  df-cn 7694  df-cnp 7695  df-met 7732  df-bl 7734  df-opn 7735  df-lm 7860
Copyright terms: Public domain