HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem sqrlem8 6610
Description: Lemma for square root theorem.
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1 |- A e. RR
sqrlem1.2 |- 0 < A
sqrlem4.3 |- S = {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ A)}
sqrlem7.4 |- B = sup(S, RR, < )
Assertion
Ref Expression
sqrlem8 |- 0 < B
Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,S
Proof of Theorem sqrlem8
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . . 4 |- A e. RR
2 sqrlem1.2 . . . 4 |- 0 < A
31, 2sqrlem3 6605 . . 3 |- 0 < (A / (1 + A))
4 1re 5407 . . . . . . . 8 |- 1 e. RR
54, 1readdcl 5306 . . . . . . 7 |- (1 + A) e. RR
6 lt01 5653 . . . . . . . . 9 |- 0 < 1
74, 1, 6, 2addgt0i 5575 . . . . . . . 8 |- 0 < (1 + A)
85, 7gt0ne0i 5591 . . . . . . 7 |- (1 + A) =/= 0
91, 5, 8redivcl 5754 . . . . . 6 |- (A / (1 + A)) e. RR
101, 2sqrlem2 6604 . . . . . . 7 |- ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) < A
113, 10pm3.2i 285 . . . . . 6 |- (0 < (A / (1 + A)) /\ ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) < A)
12 sqrlem4.3 . . . . . . 7 |- S = {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ A)}
131, 2, 12sqrlem5 6607 . . . . . 6 |- (((A / (1 + A)) e. RR /\ (0 < (A / (1 + A)) /\ ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) < A)) -> (A / (1 + A)) e. S)
149, 11, 13mp2an 695 . . . . 5 |- (A / (1 + A)) e. S
15 ltso 5484 . . . . . 6 |- < Or RR
161, 2, 12sqrlem6 6608 . . . . . . 7 |- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y < x)
17 axsup 5479 . . . . . . 7 |- ((S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y < x) -> E.x e. RR (A.y e. S -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. S y < z)))
1816, 17ax-mp 7 . . . . . 6 |- E.x e. RR (A.y e. S -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. S y < z))
1915, 18supubi 4559 . . . . 5 |- ((A / (1 + A)) e. S -> -. sup(S, RR, < ) < (A / (1 + A)))
2014, 19ax-mp 7 . . . 4 |- -. sup(S, RR, < ) < (A / (1 + A))
21 sqrlem7.4 . . . . . 6 |- B = sup(S, RR, < )
221, 2, 12, 21sqrlem7 6609 . . . . . 6 |- B e. RR
2321, 22eqeltrr 1537 . . . . 5 |- sup(S, RR, < ) e. RR
249, 23lenlt 5551 . . . 4 |- ((A / (1 + A)) <_ sup(S, RR, < ) <-> -. sup(S, RR, < ) < (A / (1 + A)))
2520, 24mpbir 190 . . 3 |- (A / (1 + A)) <_ sup(S, RR, < )
26 0re 5412 . . . 4 |- 0 e. RR
2726, 9, 23ltletr 5561 . . 3 |- ((0 < (A / (1 + A)) /\ (A / (1 + A)) <_ sup(S, RR, < )) -> 0 < sup(S, RR, < ))
283, 25, 27mp2an 695 . 2 |- 0 < sup(S, RR, < )
2928, 21breqtrr 2630 1 |- 0 < B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638  {crab 1640   (_ wss 2037  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  supcsup 4547  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   / cdiv 5266   <_ cle 5267   < clt 5458
This theorem is referenced by:  sqrlem21 6623  sqrlem22 6624  sqrgt0i 6627
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672
Copyright terms: Public domain