HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem sqrth 6580
Description: Square root theorem. Theorem I.35 of [Apostol] p. 29.

(A bit of trivia: This theorem was added to the database before the number 2 was defined and before exponents were defined. Thus you will see (1 + 1) and (x x. x) throughout its lemmas.)

Hypothesis
Ref Expression
sqrth.1 |- A e. RR
Assertion
Ref Expression
sqrth |- (0 <_ A -> ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A)
Proof of Theorem sqrth
StepHypRef Expression
1 0re 5363 . . 3 |- 0 e. RR
2 sqrth.1 . . 3 |- A e. RR
31, 2leloe 5499 . 2 |- (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A))
4 fveq2 3663 . . . . . 6 |- (A = if(0 < A, A, 1) -> (sqr` A) = (sqr` if(0 < A, A, 1)))
54, 4opreq12d 3917 . . . . 5 |- (A = if(0 < A, A, 1) -> ((sqr` A) x. (sqr` A)) = ((sqr` if(0 < A, A, 1)) x. (sqr` if(0 < A, A, 1))))
6 id 59 . . . . 5 |- (A = if(0 < A, A, 1) -> A = if(0 < A, A, 1))
75, 6eqeq12d 1465 . . . 4 |- (A = if(0 < A, A, 1) -> (((sqr` A) x. (sqr` A)) = A <-> ((sqr` if(0 < A, A, 1)) x. (sqr` if(0 < A, A, 1))) = if(0 < A, A, 1)))
8 1re 5358 . . . . . 6 |- 1 e. RR
92, 8keepel 2370 . . . . 5 |- if(0 < A, A, 1) e. RR
10 elimgt0 5716 . . . . 5 |- 0 < if(0 < A, A, 1)
119, 10sqrlem26 6579 . . . 4 |- ((sqr` if(0 < A, A, 1)) x. (sqr` if(0 < A, A, 1))) = if(0 < A, A, 1)
127, 11dedth 2354 . . 3 |- (0 < A -> ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A)
13 sqr0 6553 . . . . . 6 |- (sqr` 0) = 0
1413, 13opreq12i 3912 . . . . 5 |- ((sqr` 0) x. (sqr` 0)) = (0 x. 0)
15 0cn 5251 . . . . . 6 |- 0 e. CC
1615mul01 5354 . . . . 5 |- (0 x. 0) = 0
1714, 16eqtr 1471 . . . 4 |- ((sqr` 0) x. (sqr` 0)) = 0
18 fveq2 3663 . . . . . 6 |- (0 = A -> (sqr` 0) = (sqr` A))
1918, 18opreq12d 3917 . . . . 5 |- (0 = A -> ((sqr` 0) x. (sqr` 0)) = ((sqr` A) x. (sqr` A)))
20 id 59 . . . . 5 |- (0 = A -> 0 = A)
2119, 20eqeq12d 1465 . . . 4 |- (0 = A -> (((sqr` 0) x. (sqr` 0)) = 0 <-> ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A))
2217, 21mpbii 193 . . 3 |- (0 = A -> ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A)
2312, 22jaoi 341 . 2 |- ((0 < A \/ 0 = A) -> ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A)
243, 23sylbi 199 1 |- (0 <_ A -> ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   = wceq 1099   e. wcel 1105  ifcif 2332   class class class wbr 2587  ` cfv 3145  (class class class)co 3902  RRcr 5156  0cc0 5157  1c1 5158   x. cmul 5162   <_ cle 5218   < clt 5409  sqrcsqr 6550
This theorem is referenced by:  sqr11 6584  sqrmuli 6585  sqrmsq2 6587  sqrle 6588  sqrlt 6589  sqsqr 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-sup 4500  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-lt 5170  df-sub 5279  df-neg 5281  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413  df-le 5414  df-div 5623  df-sqr 6551
Copyright terms: Public domain