HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem unbnnt 4611
Description: Any unbounded subset of natural numbers is equinumerous to the set of all natural numbers. This version of unbnn 4521 eliminates its hypothesis by assuming the Axiom of Infinity.
Assertion
Ref Expression
unbnnt |- ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om)
Distinct variable group:   x,y,A
Proof of Theorem unbnnt
StepHypRef Expression
1 omex 4599 . . . 4 |- om e. V
21ssex 2709 . . 3 |- (A (_ om -> A e. V)
3 sseq1 2072 . . . . . . 7 |- (z = A -> (z (_ om <-> A (_ om))
4 rexeq1 1779 . . . . . . . 8 |- (z = A -> (E.y e. z x e. y <-> E.y e. A x e. y))
54ralbidv 1655 . . . . . . 7 |- (z = A -> (A.x e. om E.y e. z x e. y <-> A.x e. om E.y e. A x e. y))
63, 5anbi12d 626 . . . . . 6 |- (z = A -> ((z (_ om /\ A.x e. om E.y e. z x e. y) <-> (A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y)))
7 breq1 2612 . . . . . 6 |- (z = A -> (z ~~ om <-> A ~~ om))
86, 7imbi12d 624 . . . . 5 |- (z = A -> (((z (_ om /\ A.x e. om E.y e. z x e. y) -> z ~~ om) <-> ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om)))
9 visset 1804 . . . . . 6 |- z e. V
109unbnn 4521 . . . . 5 |- ((z (_ om /\ A.x e. om E.y e. z x e. y) -> z ~~ om)
118, 10vtoclg 1838 . . . 4 |- (A e. V -> ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om))
1211exp3a 375 . . 3 |- (A e. V -> (A (_ om -> (A.x e. om E.y e. A x e. y -> A ~~ om)))
132, 12mpcom 49 . 2 |- (A (_ om -> (A.x e. om E.y e. A x e. y -> A ~~ om))
1413imp 350 1 |- ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638  Vcvv 1802   (_ wss 2037   class class class wbr 2609  omcom 3121   ~~ cen 4348
This theorem is referenced by:  unbenlem 7447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-en 4351  df-dom 4352
Copyright terms: Public domain